Encontre a altura do cone circular reto de menor volume que pode circunscrever uma esfera de raio
.
(*)
(4)
(D)
(E) NRA
(*)
(4)
(D)
(E) NRA
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo um cone circular reto e uma esfera. A questão pede para encontrar a altura do cone de menor volume que consegue circunscrever uma esfera de raio
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre cones e esferas, além de otimização para minimizar o volume do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine uma esfera de raio
dentro de um cone circular reto. O cone toca a esfera em toda a sua superfície interna. Queremos encontrar a altura
desse cone de forma que o volume seja o menor possível.
Passo 3
Sabemos que o volume
de um cone é dado pela fórmula:
onde
é o raio da base do cone e
é a altura.
Passo 4
Para relacionar o raio
do cone com o raio
da esfera, consideramos o triângulo formado pelo centro da esfera, o vértice do cone e o ponto de tangência na base do cone. Esse triângulo é retângulo e seus lados são
,
e
(porque a altura total do cone menos o raio da esfera dá a altura do triângulo).
Passo 5
Aplicamos o teorema de Pitágoras nesse triângulo:
Simplificando:
Passo 6
Substituímos
na fórmula do volume:
Passo 7
Para encontrar a altura
que minimiza o volume, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo:
No entanto, percebemos que cometi um erro na derivação. Vamos corrigir:
Derivando corretamente:
Então:
Ainda algo está errado, pois a altura não pode ser menor que o diâmetro da esfera. Vamos reconsiderar a derivação.
Passo 8
Vamos reconsiderar a relação correta entre
e
. A distância do vértice do cone ao ponto de tangência da esfera deve ser igual a
.
Utilizando semelhança de triângulos, obtemos:
Resolvendo para
:
Passo 9
Substituímos
na fórmula do volume:
Passo 10
Para minimizar
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Simplificando:
Fatorando:
Então,
ou
. Como
não faz sentido, temos
.
Resposta
A altura do cone de menor volume que pode circunscrever uma esfera de raio
é
.
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Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
Sejam
diferenciáveis tais que
Se
, então
(A) 8
(B) -8
(2) -12
(D) 3
(E) NRA
(A) 8
(B) -8
(2) -12
(D) 3
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Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dados (caso tenha dificuladades, pode utilizar o software Geogebra).
(e) .
(e)