Encontre a altura do cone circular reto de menor volume que pode circunscrever uma esfera de raio R.
(*) 2 R (B) 3 R
(4) 4 R
(D) 5 R
(E) NRA

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo um cone circular reto e uma esfera. A questão pede para encontrar a altura do cone de menor volume que consegue circunscrever uma esfera de raio . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre cones e esferas, além de otimização para minimizar o volume do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine uma esfera de raio dentro de um cone circular reto. O cone toca a esfera em toda a sua superfície interna. Queremos encontrar a altura desse cone de forma que o volume seja o menor possível.

Passo 3

Sabemos que o volume de um cone é dado pela fórmula:
onde é o raio da base do cone e é a altura.

Passo 4

Para relacionar o raio do cone com o raio da esfera, consideramos o triângulo formado pelo centro da esfera, o vértice do cone e o ponto de tangência na base do cone. Esse triângulo é retângulo e seus lados são , e (porque a altura total do cone menos o raio da esfera dá a altura do triângulo).

Passo 5

Aplicamos o teorema de Pitágoras nesse triângulo:
Simplificando:

Passo 6

Substituímos na fórmula do volume:

Passo 7

Para encontrar a altura que minimiza o volume, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo:
No entanto, percebemos que cometi um erro na derivação. Vamos corrigir:
Derivando corretamente:
Então:
Ainda algo está errado, pois a altura não pode ser menor que o diâmetro da esfera. Vamos reconsiderar a derivação.

Passo 8

Vamos reconsiderar a relação correta entre e . A distância do vértice do cone ao ponto de tangência da esfera deve ser igual a .
Utilizando semelhança de triângulos, obtemos:
Resolvendo para :

Passo 9

Substituímos na fórmula do volume:

Passo 10

Para minimizar , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Simplificando:
Fatorando:
Então, ou . Como não faz sentido, temos .

Resposta

A altura do cone de menor volume que pode circunscrever uma esfera de raio é .

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