Desenhe o campo de direções associado a eda dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o campo de direções associado à equação diferencial dada, que é
. Isso significa que vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como representar graficamente as direções das soluções dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo de direções. Imagine que em cada ponto do plano, a equação diferencial nos dá a inclinação de uma reta. O campo de direções é como um monte de setinhas que mostram essas inclinações em diferentes pontos, ajudando a visualizar como as soluções da equação diferencial se comportam.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação
. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja, a inclinação da função
naquele ponto. A nossa tarefa é encontrar essa inclinação para vários pontos
e desenhar as setinhas correspondentes.
Passo 4
Para isso, escolhemos alguns pontos no plano, digamos
,
,
, etc. Em cada ponto, substituímos os valores de
e
na equação para encontrar
. Por exemplo, no ponto
, temos:
Isso significa que a inclinação da reta naquele ponto é -1.
Passo 5
Repetimos esse processo para vários pontos:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- E assim por diante.
Passo 6
Depois de calcular
para vários pontos, desenhamos pequenas setinhas em cada ponto com a inclinação correspondente. Por exemplo, no ponto
, desenhamos uma setinha que desce com inclinação -1, enquanto no ponto
a setinha sobe com inclinação 0,5.
Passo 7
Com todas essas setinhas desenhadas, você terá o campo de direções que mostra visualmente como as soluções da equação diferencial
se comportam no plano.
Resposta
O campo de direções para
é composto por setinhas desenhadas em vários pontos do plano, onde cada setinha tem uma inclinação calculada pela fórmula
. Esse campo ajuda a visualizar como as soluções da equação diferencial se movem e se comportam em diferentes regiões do plano.
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