Encontre edo cuja solução geral é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) cuja solução geral seja . Ou seja, precisamos descobrir qual EDO tem essa forma de solução. Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre derivadas e como relacioná-las com a solução de uma EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . Isso é importante porque as equações diferenciais geralmente envolvem derivadas de .
Derivando ambos os termos em relação a :

Passo 3

Agora, queremos eliminar a constante para encontrar uma relação que envolva apenas , e . Olhando para a solução geral, podemos isolar :
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Com expresso em termos de e , vamos substituir esse valor na expressão da derivada :
Substituindo :
Simplificando a fração:
Distribuindo o negativo:
Somando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma EDO:

Resposta

A equação diferencial cuja solução geral é é:

Exercícios relacionados

Encontre edo cuja solução geral é dada por
Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.

Desenhe o campo de direções associado a eda dada.
Determine a ordem das seguintes edo