Encontre edo cuja solução geral é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) cuja solução geral seja . Isso significa que precisamos descobrir qual equação diferencial tem essa função como uma de suas soluções. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especialmente de derivadas, porque as EDOs envolvem relações entre uma função e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é a solução geral da EDO, onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar uma relação que envolva e .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a . Usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Dados:
Calculando :
Aqui, usamos que a derivada de é , e .

Passo 4

Agora, queremos expressar a EDO em termos de e . Sabemos que:
Mas queremos eliminar a constante . Vamos manipular a expressão de para encontrar uma relação entre e .
Sabemos que . Podemos isolar :
Agora, substituímos isso na expressão de :

Passo 5

Precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Aplicando isso com :
E como :
Substituímos de volta na expressão de :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Rearranjando os termos:
Podemos fatorar :

Passo 7

Agora, vamos organizar a EDO de forma que todos os termos fiquem de um lado:
Essa é a EDO que tem como solução geral.

Resposta

A Equação Diferencial Ordinária cuja solução geral é é:

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Verifique cada função é uma solução da edo dada.

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Desenhe o campo de direções associado a eda dada.