Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão nos pede para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem e, especificamente, campos de direções. Para resolver isso, vamos precisar ajustar a equação para a forma e entender como cada ponto no plano se comporta de acordo com a inclinação dada por .
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para isolar :
Então, temos:
Isso significa que, para cada ponto no plano, a inclinação da reta é dada por .
Passo 3
Para desenhar o campo de direções, seguimos estes passos:
Escolha pontos específicos no plano . Por exemplo, valores de e como 0, 1, -1, etc.
Calcule a inclinação para cada ponto escolhido usando a fórmula .
Desenhe pequenas retas em cada ponto com a inclinação calculada. Essas retas representam a direção que a solução da equação diferencial tomará naquele ponto.
Passo 4
Vamos calcular alguns exemplos:
Para e :
A inclinação é 1.
Para e :
A inclinação é aproximadamente 0.3679.
Para e :
A inclinação é aproximadamente -1.3679.
Passo 5
Repita esse processo para vários pontos no plano . Quanto mais pontos você calcular, mais detalhado ficará o campo de direções. Depois de calcular as inclinações, desenhe as retas correspondentes em cada ponto com as inclinações encontradas.
Resposta
Seguindo esses passos, você conseguirá desenhar o campo de direções para a equação diferencial , visualizando como as soluções evoluem no plano .