Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão nos pede para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem e, especificamente, campos de direções. Para resolver isso, vamos precisar ajustar a equação para a forma e entender como cada ponto no plano se comporta de acordo com a inclinação dada por .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para isolar :
Então, temos:
Isso significa que, para cada ponto no plano, a inclinação da reta é dada por .

Passo 3

Para desenhar o campo de direções, seguimos estes passos:
  1. Escolha pontos específicos no plano . Por exemplo, valores de e como 0, 1, -1, etc.
  2. Calcule a inclinação para cada ponto escolhido usando a fórmula .
  3. Desenhe pequenas retas em cada ponto com a inclinação calculada. Essas retas representam a direção que a solução da equação diferencial tomará naquele ponto.

Passo 4

Vamos calcular alguns exemplos:
  • Para e :
    A inclinação é 1.
  • Para e :
    A inclinação é aproximadamente 0.3679.
  • Para e :
    A inclinação é aproximadamente -1.3679.

Passo 5

Repita esse processo para vários pontos no plano . Quanto mais pontos você calcular, mais detalhado ficará o campo de direções. Depois de calcular as inclinações, desenhe as retas correspondentes em cada ponto com as inclinações encontradas.

Resposta

Seguindo esses passos, você conseguirá desenhar o campo de direções para a equação diferencial , visualizando como as soluções evoluem no plano .

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