Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial dada por
E a gente precisa fazer uma mudança de variáveis usando
Isso significa que vamos reescrever a equação original em termos dessas novas variáveis Ξ e Η. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as derivadas parciais , , e em termos de e . Usamos a regra da cadeia para isso.
As derivadas parciais são dadas por:
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais das variáveis.
Passo 3
Calculando as derivadas das variáveis:
Agora, substituímos esses valores nas expressões de e :
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem e .
Primeiro, :
Simplificando:
Segundo, :
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos e na equação original:
Vamos simplificar:
Resposta
Depois de fazer a mudança de variáveis, a equação transforma-se em: