Encontre as soluções fundamentais do problema de Dirichlet no quarto do disco de raio

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar as soluções fundamentais do problema de Dirichlet num quarto de disco de raio . Isso está dentro da área de equações diferenciais parciais, mais especificamente lidando com a equação de Laplace em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar o método da separação de variáveis e entender um pouco sobre séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Laplace em coordenadas polares:
Nossa meta é encontrar soluções que satisfaçam essa equação dentro do quarto de disco, ou seja, para e , com as condições de contorno:

Passo 3

Vamos usar a separação de variáveis assumindo que a solução pode ser escrita como produto de funções somente de e somente de :
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Podemos reescrever isso como:
Onde é uma constante de separação.

Passo 4

Vamos resolver a parte angular primeiro. A equação fica:
Com as condições de contorno e .
As soluções não triviais existem se for tal que a equação tenha soluções que satisfaçam as condições de contorno. Isso ocorre quando:
Então, e as soluções angulares são:

Passo 5

Agora, vamos para a parte radial. A equação fica:
Substituindo :
Essa é uma equação de Euler-Cauchy cujas soluções gerais são:
Como estamos dentro do disco , e para que a solução seja finita em , devemos ter . Então:

Passo 6

Então, as soluções específicas são:
Para satisfazer a condição de contorno , expandimos em uma série de senos:
O coeficiente é determinado usando a ortogonalidade das funções seno:

Resposta

As soluções fundamentais do problema de Dirichlet no quarto de disco de raio são dadas por:
para .

Exercícios relacionados

Faça a mudança de variáveis na equação:
Utilize o método de separaçāo de variáveis para determinar as equaçōes diferenciais ordinárias que separam as variáveis da equação:
Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para deter soluções quando .