Encontre as soluções fundamentais do problema de Dirichlet no quarto do disco de raio a
l partial^2 u(r, theta)r^2+1r, theta)+1x^2 partial u(r, theta)partial theta=0 u(r, 0)=0=u(r, pi2) u(a, theta)=f(theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar as soluções fundamentais do problema de Dirichlet num quarto de disco de raio . Isso está dentro da área de equações diferenciais parciais, mais especificamente lidando com a equação de Laplace em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar o método da separação de variáveis e entender um pouco sobre séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Laplace em coordenadas polares:
partial^2 upartial r^2 + 1r partial upartial r + 1r^2 partial^2 upartial theta^2 = 0
Nossa meta é encontrar soluções u(r, 0) = 0, u(r, pi2) = 0, u(a, theta) = f(theta) que satisfaçam essa equação dentro do quarto de disco, ou seja, para e , com as condições de contorno:

Passo 3

Vamos usar a separação de variáveis assumindo que a solução pode ser escrita como produto de funções somente de u(r, theta) = R(r) Theta(theta) e somente de R''(r) Theta(theta) + 1r R'(r) Theta(theta) + 1r^2 R(r) Theta''(theta) = 0 :
R''(r)R(r) + 1r R'(r)R(r) + 1r^2 Theta''(theta)Theta(theta) = 0
Substituindo na equação de Laplace:
r^2 R''(r)R(r) + r R'(r)R(r) = -Theta''(theta)Theta(theta) = lambda
Dividindo ambos os lados por :
Podemos reescrever isso como:
Onde é uma constante de separação.

Passo 4

Vamos resolver a parte angular primeiro. A equação fica:
Theta''(theta) + lambda Theta(theta) = 0
Com as condições de contorno pi2 = n piraizlambda Rightarrow lambda = (2n1)^2 = (2n)^2 para n = 1, 2, 3, dots e Thetan(theta) = sin(2ntheta) .
As soluções não triviais existem se for tal que a equação tenha soluções que satisfaçam as condições de contorno. Isso ocorre quando:
Então, e as soluções angulares são:

Passo 5

Agora, vamos para a parte radial. A equação fica:
r^2 R''(r) + r R'(r) - lambda R(r) = 0
Substituindo r^2 R''(r) + r R'(r) - 4n^2 R(r) = 0 :
Rn(r) = An r^2n + Bn r^-2n
Essa é uma equação de Euler-Cauchy cujas soluções gerais são:
Rn(r) = An r^2n
Como estamos dentro do disco , e para que a solução seja finita em , devemos ter . Então:

Passo 6

Então, as soluções específicas são:
un(r, theta) = An r^2n sin(2ntheta)
Para satisfazer a condição de contorno f(theta) = sumn=1^infty An a^2n sin(2ntheta) , expandimos An = 2a^2n integral0^pi2 f(theta) sin(2ntheta) , dtheta em uma série de senos:
O coeficiente é determinado usando a ortogonalidade das funções seno:

Resposta

As soluções fundamentais do problema de Dirichlet no quarto de disco de raio un(r, theta) = ( 2a^2n integral0^pi2 f(theta') sin(2ntheta') , dtheta' ) r^2n sin(2ntheta) são dadas por:
para .

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