Encontre as soluções fundamentais do problema de Dirichlet no quarto do disco de raio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar as soluções fundamentais do problema de Dirichlet num quarto de disco de raio . Isso está dentro da área de equações diferenciais parciais, mais especificamente lidando com a equação de Laplace em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar o método da separação de variáveis e entender um pouco sobre séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de Laplace em coordenadas polares:
Nossa meta é encontrar soluções que satisfaçam essa equação dentro do quarto de disco, ou seja, para e , com as condições de contorno:
Passo 3
Vamos usar a separação de variáveis assumindo que a solução pode ser escrita como produto de funções somente de e somente de :
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Podemos reescrever isso como:
Onde é uma constante de separação.
Passo 4
Vamos resolver a parte angular primeiro. A equação fica:
Com as condições de contorno e .
As soluções não triviais existem se for tal que a equação tenha soluções que satisfaçam as condições de contorno. Isso ocorre quando:
Então, e as soluções angulares são:
Passo 5
Agora, vamos para a parte radial. A equação fica:
Substituindo :
Essa é uma equação de Euler-Cauchy cujas soluções gerais são:
Como estamos dentro do disco , e para que a solução seja finita em , devemos ter . Então:
Passo 6
Então, as soluções específicas são:
Para satisfazer a condição de contorno , expandimos em uma série de senos:
O coeficiente é determinado usando a ortogonalidade das funções seno:
Resposta
As soluções fundamentais do problema de Dirichlet no quarto de disco de raio são dadas por: