Encontre as soluções fundamentais do problema de Dirichlet no quarto do disco de raio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar as soluções fundamentais do problema de Dirichlet num quarto de disco de raio . Isso está dentro da área de equações diferenciais parciais, mais especificamente lidando com a equação de Laplace em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar o método da separação de variáveis e entender um pouco sobre séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de Laplace em coordenadas polares:
Nossa meta é encontrar soluções u(r, 0) = 0, u(r, pi2) = 0, u(a, theta) = f(theta) que satisfaçam essa equação dentro do quarto de disco, ou seja, para e , com as condições de contorno:
Passo 3
Vamos usar a separação de variáveis assumindo que a solução pode ser escrita como produto de funções somente de u(r, theta) = R(r) Theta(theta) e somente de R''(r) Theta(theta) + 1r R'(r) Theta(theta) + 1r^2 R(r) Theta''(theta) = 0 :
Essa é uma equação de Euler-Cauchy cujas soluções gerais são:
Rn(r) = An r^2n
Como estamos dentro do disco , e para que a solução seja finita em , devemos ter . Então:
Passo 6
Então, as soluções específicas são:
un(r, theta) = An r^2n sin(2ntheta)
Para satisfazer a condição de contorno f(theta) = sumn=1^infty An a^2n sin(2ntheta) , expandimos An = 2a^2n integral0^pi2 f(theta) sin(2ntheta) , dtheta em uma série de senos:
O coeficiente é determinado usando a ortogonalidade das funções seno:
Resposta
As soluções fundamentais do problema de Dirichlet no quarto de disco de raio un(r, theta) = ( 2a^2n integral0^pi2 f(theta') sin(2ntheta') , dtheta' ) r^2n sin(2ntheta) são dadas por: