Determine o campo vetorial gradiente .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o campo vetorial gradiente da função . Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente em derivadas parciais e gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de com respeito a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
A derivada da tangente é:
Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando a mesma regra da derivada da tangente:
Com , temos:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:

Resposta

O campo vetorial gradiente de é:

Exercícios relacionados

Desenhe o campo vetorial gradiente de juntamente com um mapa de contorno de . Explique como eles estão relacionados entre si.
Seja , onde e . Use um SCA para traçar esse campo vetorial em vários domínios, até conseguir visualizar o que ocorre. Descreva a aparência do desenho e explique-o, determinando os pontos onde .
Desenhe o campo vetorial gradiente de juntamente com um mapa de contorno de . Explique como eles estão relacionados entre si.
Resolva equaçãoes exatos:
c) .