Determine o campo vetorial gradiente
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o campo vetorial gradiente da função
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente em derivadas parciais e gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de
com respeito a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
A derivada da tangente é:
Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a mesma regra da derivada da tangente:
Com
, temos:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:
Resposta
O campo vetorial gradiente de
é:
Exercícios relacionados
Desenhe o campo vetorial gradiente de
juntamente com um mapa de contorno de
. Explique como eles estão relacionados entre si.
Seja
, onde
e
. Use um SCA para traçar esse campo vetorial em vários domínios, até conseguir visualizar o que ocorre. Descreva a aparência do desenho e explique-o, determinando os pontos onde
.
Desenhe o campo vetorial gradiente de
juntamente com um mapa de contorno de
. Explique como eles estão relacionados entre si.
Resolva equaçãoes exatos:
c) .
c)