Desenhe o circuito a partir da expressão e levante sua tabela da verdade:
S=[(overlineB+C+D) cdot(A+B+C)+C]+A cdot B cdot C+B cdot (overlineA+C)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de lógica digital onde precisamos desenhar um circuito eletrônico a partir de uma expressão booleana complicada. Além disso, vamos criar uma tabela da verdade para esse circuito. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra booleana, como operações lógicas (AND, OR, NOT) e como elas se combinam para formar expressões mais complexas. Vamos precisar entender bem esses operadores e como transformá-los em diagramas de circuitos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão booleana que temos:
S = [(overlineB + C + D) cdot (A + B + C) + C] + A cdot B cdot C + B cdot (overlineA + C)
Nossa meta é simplificar essa expressão para facilitar o desenho do circuito e a criação da tabela da verdade. Vamos começar quebrando a expressão em partes menores.

Passo 3

Vamos identificar e simplificar cada parte da expressão:
  1. Primeira parte:
    (overlineB + C + D) cdot (A + B + C) + C
    Aqui, temos uma operação de multiplicação (AND) entre duas somas (OR) e depois uma soma com $ C $, tudo isso negado.
  2. Segunda parte:
    C
    Simplesmente uma operação AND entre $ A $, $ \overline{B} $ e $ C $.
  3. Terceira parte:
    A cdot B cdot C
    Aqui, temos uma operação AND entre $ \overline{B} $ e a negação de uma soma (OR) entre $ \overline{A} $ e $ C $.
Vamos simplificar cada parte, aplicando as leis de De Morgan e outras propriedades da álgebra booleana.

Passo 4

Simplificando a primeira parte:
(overlineB + C + D) cdot (A + B + C) + C
Aplicamos a Lei de De Morgan para a negação de uma soma:
X cdot Y + C = X cdot Y cdot C
Onde $ X = \overline{B} + \overline{C} + \overline{D} $ e $ Y = \overline{A} + B + C $.
Aplicando novamente De Morgan:
X = B + C + D
Simplificando as duplas negações:
Y = A + B + C
X cdot Y = X + Y = (overlineB + C + D) + (overlineA + B + C)
Portanto, a primeira parte simplificada fica:
(overlineB + C + D) = B cdot C cdot D
(Observamos que $ A \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} \cdot \overline{C} = 0 $, pois $ \overline{C} \cdot \overline{C} = \overline{C} $, mas ao multiplicar com outras variáveis, o resultado permanece.)

Passo 5

Agora, a expressão original simplifica para:
S = B cdot C cdot D + A cdot B cdot C + B cdot (overlineA + C)
Vamos simplificar a terceira parte:
B cdot (overlineA + C) = B cdot (A cdot C)
Isso porque, aplicando De Morgan:
(overlineA + C) = A cdot C
Portanto, a expressão fica:
S = B cdot C cdot D + A cdot B cdot C + B cdot A cdot C
Podemos observar que $ \overline{B} \cdot A $ é comum nos dois últimos termos, mas para fins de desenho do circuito, vamos mantê-los separados.

Passo 6

Agora que a expressão está simplificada, podemos desenhar o circuito lógico correspondente. Vamos identificar os termos e as operações lógicas necessárias:
  1. Termo 1: $ B \cdot C \cdot D $
    • Operação AND entre $ B $, $ C $ e $ D $.
  2. Termo 2: $ A \cdot \overline{B} \cdot C $
    • Operação NOT em $ B $, seguida de AND entre $ A $, $ \overline{B} $ e $ C $.
  3. Termo 3: $ \overline{B} \cdot A \cdot \overline{C} $
    • Operação NOT em $ B $ e em $ C $, seguida de AND entre $ \overline{B} $, $ A $ e $ \overline{C} $.
Finalmente, todas essas saídas serão combinadas por uma operação OR para obter $ S $.

Passo 7

Vamos montar a tabela da verdade para essa expressão. A tabela da verdade mostrará todas as combinações possíveis das entradas $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $, e o resultado $ S $ para cada combinação.
Como temos 4 variáveis de entrada ($ A $, $ B $, $ C $, $ D $), teremos $ 2^4 = 16 $ linhas na tabela.
Vamos criar as colunas necessárias:
  • $ A $
  • $ B $
  • $ C $
  • $ D $
  • $ \overline{B} $
  • $ \overline{C} $
  • $ \overline{A} $
  • Termo 1: $ B \cdot C \cdot D $
  • Termo 2: $ A \cdot \overline{B} \cdot C $
  • Termo 3: $ \overline{B} \cdot A \cdot \overline{C} $
  • $ S $ (Resultado final)

Passo 8

Vamos preencher a tabela da verdade passo a passo:
|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline A & B & C & D & B & C & A & BCD & ABC & BAC & S hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 hline
Cada linha representa uma combinação das entradas $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $, e calcula o valor de $ S $ com base na expressão simplificada.

Resposta

A tabela da verdade para a expressão dada está completa conforme acima, e o circuito lógico correspondente pode ser desenhado com três blocos AND para cada termo simplificado combinados por uma operação OR final para obter $ S $.

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