A entrada de um circuito é a tensão
v(t)=2+4 cos (25 t)+5 cos (100 t+45^circ) V
e a saída é a tensão
vo(t)=5+7,071 cos (25 t-45^circ)+c4 cos (omega4 t+theta4) V
A função de transferência do circuito é
H(omega)=Vo(omega)Vi(omega)=Ho1+j omegap
Determine:
Polo p;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o polo $ p $ de um circuito usando a função de transferência. A matéria envolvida aqui é Análise de Circuitos Elétricos, especificamente funções de transferência e resposta em frequência. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar a tensão de entrada e saída com a função de transferência $ H(\omega) $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função de transferência dada:
H(omega) = Vo(omega)Vi(omega) = Ho1 + jomegap
Aqui, $ H_{o} $ é a ganância de DC (quando $ \omega = 0 $) e $ p $ é o polo que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular $ H_{o} $. Para $ \omega = 0 $ (DC):
  • Tensão de entrada $ V_i(0) = 2 $ V
  • Tensão de saída $ V_o(0) = 5 $ V
Então,
Ho

Passo 4

Agora, analisamos a resposta em frequência para $ \omega = 25 $ rad/s. A tensão de entrada para essa frequência é $ 4 \cos(25t) $ e a saída é $ 7,071 \cos(25t - 45°) $ V.
A magnitude de $ H(\omega) $ para $ \omega = 25 $ rad/s é:
omega = 25
E a fase é $ -45° $.

Passo 5

Vamos usar a expressão da magnitude da função de transferência:
|H(omega)| = Horaiz1 + (omegap)^2
Substituindo $ |H(25)| = 1,76775 $ e $ H_{o} = 2,5 $:
|H(25)| = 1,76775
Vamos isolar $ p $:
Ho = 2,5
Elevando ambos os lados ao quadrado:
1,76775 = 2,5raiz1 + (25p)^2
p
raiz1 + (25p)^2 = 2,51,76775 approx 1,4142
1 + (25p)^2 = 2

Passo 6

Confirmando com a fase, sabemos que:
Fase de H(omega) = -arctan(omegap) = -45°
Então,
arctan(25p) = 45°
Como $ \arctan(1) = 45° $, temos:
arctan(1) = 45°

Resposta

O polo $ p $ do circuito é $ 25 $ rad/s.

Exercícios relacionados