Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação vetorial sigma(t) = tan(t) i + senh(2t) j + sech(t) k. Prove que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais entre si em t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma partícula que se move numa curva definida pela equação vetorial . O objetivo é provar que, no instante , os vetores de velocidade e aceleração dessa partícula são perpendiculares entre si (ou seja, ortogonais).
Para resolver isso, vamos precisar usar:
  • Derivadas de funções vetoriais para encontrar os vetores de velocidade e aceleração.
  • O conceito de produto escalar (dot product) para verificar se dois vetores são ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente da função vetorial sigma(t) em relação a t.
A função dada é:
Agora, vamos derivar cada parte:
  • Derivada de tan t em relação a t é .
  • Derivada de em relação a t é (usando a regra da cadeia).
  • Derivada de em relação a t é .
Então, o vetor velocidade v(t) é:

Passo 3

Agora, vamos achar o vetor aceleração, que é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo. Ou seja, vamos derivar cada componente de v(t).
Temos:
Vamos derivar cada parte:
  • Derivada de é (usando a regra da cadeia).
  • Derivada de é .
  • Derivada de :
    • Primeiro derivamos , que é .
    • Depois, derivamos , que é .
    • Aplicando a regra do produto, a derivada fica .
Portanto, o vetor aceleração a(t) é:

Passo 4

Agora que temos os vetores de velocidade e aceleração, vamos avaliá-los no instante .
Primeiro, o vetor velocidade v(t) em :
Sabemos que:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Então:
Agora, o vetor aceleração a(t) em :
Sabemos que:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Então:

Passo 5

Agora, vamos verificar se os vetores e são ortogonais. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre eles. Se o resultado for zero, os vetores são perpendiculares.
O produto escalar de dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Resposta

Os vetores velocidade e aceleração são ortogonais em porque o produto escalar entre eles é zero.

Exercícios relacionados

Desenhe a curva dada (coordenadas polares):
rho = cos^2(theta).
Prove que o vetor tangente unitário da hélice circular, sigma(t) = a cos(t) i + a sen(t) j + t k, faz um ângulo constante com o vetor unitário k.
Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar o(s) ponto(s) da curva x y = 1 mais próximo(s) da origem.
Uma partícula está se movendo ao longo de uma curva tendo a equação vetorial
sigma(t) = 3t * i + (4t - t^2) * j
(a) Encontre uma equação cartesiana da trajetória da partícula.
(b) Encontre o vetor velocidade e o vetor aceleração.
© Determine V(1) e A(1). Siga as instruções anteriores, se
sigma(t) = 2 e^t i + 3 e^(-t) j