Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação vetorial
. Prove que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais entre si em
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma partícula que se move numa curva definida pela equação vetorial
. O objetivo é provar que, no instante
, os vetores de velocidade e aceleração dessa partícula são perpendiculares entre si (ou seja, ortogonais).
Para resolver isso, vamos precisar usar:
- Derivadas de funções vetoriais para encontrar os vetores de velocidade e aceleração.
- O conceito de produto escalar (dot product) para verificar se dois vetores são ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente da função vetorial
em relação a
.
A função dada é:
Agora, vamos derivar cada parte:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - Derivada de
em relação a é .
Então, o vetor velocidade
é:
Passo 3
Agora, vamos achar o vetor aceleração, que é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo. Ou seja, vamos derivar cada componente de
.
Temos:
Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
é (usando a regra da cadeia). - Derivada de
é . - Derivada de
: - Primeiro derivamos
, que é . - Depois, derivamos
, que é . - Aplicando a regra do produto, a derivada fica
.
- Primeiro derivamos
Portanto, o vetor aceleração
é:
Passo 4
Agora que temos os vetores de velocidade e aceleração, vamos avaliá-los no instante
.
Primeiro, o vetor velocidade
em
:
Sabemos que:
-
, -
, -
, -
.
Então:
Agora, o vetor aceleração
em
:
Sabemos que:
-
, -
, -
, -
.
Então:
Passo 5
Agora, vamos verificar se os vetores
e
são ortogonais. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre eles. Se o resultado for zero, os vetores são perpendiculares.
O produto escalar de dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Resposta
Os vetores velocidade e aceleração são ortogonais em
porque o produto escalar entre eles é zero.
Exercícios relacionados
Desenhe a curva dada (coordenadas polares):
.
Prove que o vetor tangente unitário da hélice circular,
, faz um ângulo constante com o vetor unitário
.
Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar o(s) ponto(s) da curva
mais próximo(s) da origem.
Uma partícula está se movendo ao longo de uma curva tendo a equação vetorial
(a) Encontre uma equação cartesiana da trajetória da partícula.
(b) Encontre o vetor velocidade e o vetor aceleração.
© Determine e
. Siga as instruções anteriores, se
(b) Encontre o vetor velocidade e o vetor aceleração.
© Determine