( 2 pontos) Calcule o determinante através das operações elementares
A=(ccc a & a & 1 & a+1 & a 1 & 2 & a+1 & & a+2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de calcular o determinante da matriz A=(ccc a & a & 1 & a+1 & a 1 & 2 & a+1 & & a+2 ) usando operações elementares. O enunciado nos dá a seguinte matriz:
A= a & a & 0 1 & a+1 & a 1 & 2 & a+1
Primeiro, precisamos notar que para calcular o determinante, a matriz precisa ser quadrada, ou seja, ter o mesmo número de linhas e colunas. Observando a matriz, vemos que ela tem 4 linhas e 3 colunas, o que não é possível para calcular o determinante. Parece que houve um pequeno erro no enunciado. Vamos considerar que a matriz correta seja uma matriz e preencher os espaços vazios com zeros para facilitar o cálculo:
Agora, temos uma matriz quadrada pronta para calcular seu determinante.

Passo 2

Para calcular o determinante de uma matriz , podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. No nosso caso, vamos usar operações elementares para simplificar a matriz e facilitar o cálculo do determinante.
As operações elementares que podemos usar são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair um múltiplo de uma linha para outra linha.
Essas operações ajudam a transformar a matriz em uma forma mais simples, como a forma triangular, onde o determinante é fácil de calcular.

Passo 3

Vamos começar transformando a matriz A= a & a & 0 1 & a+1 & a 1 & 2 & a+1 para uma matriz triangular superior. Para isso, queremos que todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam zero.
Nossa matriz inicial é:
R2 = R2 - 1a R1
Primeiro, vamos eliminar o elemento abaixo da posição (1,1), que é 1.
Para isso, podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos R2: 1 - 1a cdot a = 1 - 1 = 0 (a+1) - 1a cdot a = a+1 - 1 = a a - 1a cdot 0 = a - 0 = a vezes a primeira linha:
R2 = [0, a, a]
Fazendo essa operação:
A= a & a & 0 0 & a & a 1 & 2 & a+1
Então, a segunda linha fica:
A matriz agora é:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo da posição (1,1) na terceira linha, que também é 1.
Vamos substituir a terceira linha pela terceira linha menos R3 = R3 - 1a R1 vezes a primeira linha:
1 - 1a cdot a = 1 - 1 = 0 2 - 1a cdot a = 2 - 1 = 1 (a+1) - 1a cdot 0 = a+1 - 0 = a+1
Fazendo a operação:
R3 = [0, 1, a+1]
Então, a terceira linha fica:
A= a & a & 0 0 & a & a 0 & 1 & a+1
A matriz agora é:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna para zerar o elemento abaixo dela na terceira linha.
Queremos eliminar o 1 que está na posição (3,2).
Para isso, podemos substituir a terceira linha pela terceira linha menos R3 = R3 - 1a R2 vezes a segunda linha:
0 - 1a cdot 0 = 0 1 - 1a cdot a = 1 - 1 = 0 (a+1) - 1a cdot a = a+1 - 1 = a
Fazendo a operação:
R3 = [0, 0, a]
Então, a terceira linha fica:
A= a & a & 0 0 & a & a 0 & 0 & a
Agora, a matriz está em forma triangular superior:

Passo 6

Com a matriz já em forma triangular superior, calcular o determinante é simples: basta multiplicar os elementos da diagonal principal.
A diagonal principal é composta pelos elementos det(A) = a times a times a = a^3 , e .
Portanto, o determinante de é:

Resposta

O determinante da matriz det(A) = a^3 é:

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