Desenhe as curvas de nivel e determine a imagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenhar as curvas de nível da função e determinar a imagem dessa função. Aqui, vamos usar conceitos de curvas de nível e imagem de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Para isso, escolhemos um valor e resolvemos a equação .

Passo 3

Vamos igualar a função a :
Agora, vamos resolver essa equação para em função de e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Distribuindo o :
Rearranjando os termos:
Fatorando o :
Isolando :

Passo 5

Agora, para que seja um número real não negativo, o lado direito da equação também precisa ser não negativo. Isso nos dá restrições para :
  • O denominador deve ser positivo ( ).
  • O numerador também deve ser positivo ( ), ou seja, .
Então, deve estar no intervalo .

Passo 6

Resolvendo para :
Isso mostra que, para cada entre 0 e 1, a curva de nível é uma reta passando pela origem com inclinação .

Passo 7

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Observamos que varia entre 0 e 1, ou seja, .

Resposta

A imagem da função é o intervalo . As curvas de nível são retas que passam pela origem com inclinações para cada entre 0 e 1.

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(a)