Desenhe as curvas de nivel e determine a imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenhar as curvas de nível da função
e determinar a imagem dessa função. Aqui, vamos usar conceitos de curvas de nível e imagem de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
assume um valor constante. Para isso, escolhemos um valor
e resolvemos a equação
.
Passo 3
Vamos igualar a função a
:
Agora, vamos resolver essa equação para
em função de
e
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Distribuindo o
:
Rearranjando os termos:
Fatorando o
:
Isolando
:
Passo 5
Agora, para que
seja um número real não negativo, o lado direito da equação também precisa ser não negativo. Isso nos dá restrições para
:
- O denominador
deve ser positivo ( ). - O numerador
também deve ser positivo ( ), ou seja, .
Então,
deve estar no intervalo
.
Passo 6
Resolvendo para
:
Isso mostra que, para cada
entre 0 e 1, a curva de nível é uma reta passando pela origem com inclinação
.
Passo 7
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Observamos que
varia entre 0 e 1, ou seja,
.
Resposta
A imagem da função
é o intervalo
. As curvas de nível são retas que passam pela origem com inclinações
para cada
entre 0 e 1.
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g-)
g-)
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c-)
c-)
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(g)
(g)
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(a)
(a)