Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(g) y' + 3 x^2 y = x^2 + e^(-x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos na equação. Ela está na forma padrão , onde:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Esse fator é dado por:
Vamos calcular:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o termo do lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . No lado direito, temos:
e
Então, juntando tudo:

Passo 7

Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

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