Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(a)
(a)
Passo 1
Entendendo o Enunciado e o Conteúdo
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Riccati:
E nos dizem que uma solução particular dessa equação é
.
Matéria Envolvida:
- Equações de Riccati: São equações diferenciais de primeira ordem que têm a forma geral
. - Solução Particular: É uma solução específica da equação que nos ajuda a encontrar a solução geral.
- Método de Substituição: Usaremos uma substituição para simplificar a equação e encontrar a solução geral.
O que vamos precisar:
- Verificar que
é de fato uma solução. - Utilizar essa solução particular para encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Verificando que
é uma Solução da Equação
Primeiro, vamos confirmar que
satisfaz a equação dada.
Calculamos a derivada de
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Como a igualdade é verdadeira,
é de fato uma solução da equação.
Passo 3
Utilizando a Solução Particular para Encontrar a Geral
Sabendo que temos uma solução particular
, podemos encontrar a solução geral da equação de Riccati usando a seguinte substituição:
onde
é uma nova função que vamos determinar.
Passos:
- Substituição na Equação Original: Vamos substituir
e na equação original. - Simplificar para Encontrar uma Equação para
: A ideia é transformar a equação de Riccati em uma equação linear mais fácil de resolver. - Resolver a Equação para
: Encontrar e, consequentemente, a solução geral .
Passo 4
Fazendo a Substituição na Equação Original
Primeiro, substituímos
por
na equação:
Substituindo na equação original:
Passo 5
Simplificando a Equação para
Vamos simplificar a equação passo a passo:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Agora, substituindo de volta na equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Passo 6
Resolvendo a Equação para
Temos agora uma equação simples:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Encontrando a Solução Geral
Lembrando da nossa substituição:
Podemos reescrever
como apenas uma nova constante
, já que
é uma constante arbitrária. Para simplificar, mantemos
.
Resposta
A solução geral da equação de Riccati é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(g)
(g)
Desenhe as curvas de nivel e determine a imagem.
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
©
©
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(f)
(f)