Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(a)

Passo 1

Entendendo o Enunciado e o Conteúdo
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Riccati:
E nos dizem que uma solução particular dessa equação é .
Matéria Envolvida:
  • Equações de Riccati: São equações diferenciais de primeira ordem que têm a forma geral .
  • Solução Particular: É uma solução específica da equação que nos ajuda a encontrar a solução geral.
  • Método de Substituição: Usaremos uma substituição para simplificar a equação e encontrar a solução geral.
O que vamos precisar:
  1. Verificar que é de fato uma solução.
  2. Utilizar essa solução particular para encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Verificando que é uma Solução da Equação
Primeiro, vamos confirmar que satisfaz a equação dada.
Calculamos a derivada de :
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando:
Como a igualdade é verdadeira, é de fato uma solução da equação.

Passo 3

Utilizando a Solução Particular para Encontrar a Geral
Sabendo que temos uma solução particular , podemos encontrar a solução geral da equação de Riccati usando a seguinte substituição:
onde é uma nova função que vamos determinar.
Passos:
  1. Substituição na Equação Original: Vamos substituir e na equação original.
  2. Simplificar para Encontrar uma Equação para : A ideia é transformar a equação de Riccati em uma equação linear mais fácil de resolver.
  3. Resolver a Equação para : Encontrar e, consequentemente, a solução geral .

Passo 4

Fazendo a Substituição na Equação Original
Primeiro, substituímos por na equação:
Substituindo na equação original:

Passo 5

Simplificando a Equação para
Vamos simplificar a equação passo a passo:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Agora, substituindo de volta na equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Então:

Passo 6

Resolvendo a Equação para
Temos agora uma equação simples:
Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Encontrando a Solução Geral
Lembrando da nossa substituição:
Podemos reescrever como apenas uma nova constante , já que é uma constante arbitrária. Para simplificar, mantemos .

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(g)
Desenhe as curvas de nivel e determine a imagem.
Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
©
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(f)