Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
g-)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo variáveis separáveis, que é quando conseguimos separar as partes que dependem de das que dependem de . A equação que vamos resolver é:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. A equação dada é:
Vamos mover o termo com para o outro lado:
Agora, isolamos :
Lembre-se que , então simplificamos multiplicando por .

Passo 3

Agora, a gente tem:
Para separar as variáveis, vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Dividimos ambos os lados por :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos dá:
Vamos resolver as integrais uma por uma.

Passo 5

Começando pela integral da esquerda:
Sabemos que , e a integral de é :

Passo 6

Agora, a integral da direita:
Para resolver isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos e . Então, e . Aplicando a fórmula:
Assim:

Passo 7

Juntando as integrais resolvidas, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, vamos isolar . Primeiro, aplicamos a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde agora representa , ainda uma constante.

Passo 9

Finalmente, tiramos o arco seno para obter :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
c-)
Prove que é uma solução da equação diferencial dada:
©
Desenhe as curvas de nivel e determine a imagem.
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(g)