Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
g-)
g-)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo variáveis separáveis, que é quando conseguimos separar as partes que dependem de
das que dependem de
. A equação que vamos resolver é:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. A equação dada é:
Vamos mover o termo com
para o outro lado:
Agora, isolamos
:
Lembre-se que
, então simplificamos multiplicando por
.
Passo 3
Agora, a gente tem:
Para separar as variáveis, vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Dividimos ambos os lados por
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos dá:
Vamos resolver as integrais uma por uma.
Passo 5
Começando pela integral da esquerda:
Sabemos que
, e a integral de
é
:
Passo 6
Agora, a integral da direita:
Para resolver isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos
e
. Então,
e
. Aplicando a fórmula:
Assim:
Passo 7
Juntando as integrais resolvidas, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, vamos isolar
. Primeiro, aplicamos a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
agora representa
, ainda uma constante.
Passo 9
Finalmente, tiramos o arco seno para obter
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
c-)
c-)
Prove que
é uma solução da equação diferencial dada:
©
©
Desenhe as curvas de nivel e determine a imagem.
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(g)
(g)