Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar as curvas de nível da função
para os valores de
. Ou seja, queremos ver como essa função se comporta nesses níveis específicos usando curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Matematicamente, isso significa resolver a equação
para cada valor de
dado.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Queremos encontrar a relação entre
e
que satisfaz essa equação para cada valor de
.
Passo 4
Vamos isolar
na equação:
Então, para cada valor de
, a curva de nível será dada por:
Passo 5
Agora, vamos analisar cada valor de
:
- Para
:
Então, a curva de nível é a função exponencial
.
- Para
:
Aqui, a curva de nível é
, que é a reflexão da função exponencial em relação ao eixo
.
- Para
:
Aqui, temos um problema porque a divisão por zero não é definida:
Isso significa que não existe uma curva de nível para
na nossa função.
Resposta
As curvas de nível da função
para os níveis indicados são:
- Para
: - Para
: - Para
: Não existe curva de nível.
Exercícios relacionados
Dizemos que uma reta
é uma assíntota do gráfico de uma função
quando
Quando
, temos a assíntota horizontal
. Quando
temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta
é uma assíntota oblíqua de
,
uma vez que
uma vez que
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função
indicada:
(b) de
(b)
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados:
.
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.