Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar as curvas de nível da função para os valores de . Ou seja, queremos ver como essa função se comporta nesses níveis específicos usando curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Matematicamente, isso significa resolver a equação para cada valor de dado.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Queremos encontrar a relação entre e que satisfaz essa equação para cada valor de .

Passo 4

Vamos isolar na equação:
Então, para cada valor de , a curva de nível será dada por:

Passo 5

Agora, vamos analisar cada valor de :
  1. Para :
Então, a curva de nível é a função exponencial .
  1. Para :
Aqui, a curva de nível é , que é a reflexão da função exponencial em relação ao eixo .
  1. Para :
Aqui, temos um problema porque a divisão por zero não é definida:
Isso significa que não existe uma curva de nível para na nossa função.

Resposta

As curvas de nível da função para os níveis indicados são:
  • Para :
  • Para :
  • Para : Não existe curva de nível.

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Dizemos que uma reta é uma assíntota do gráfico de uma função quando
Quando , temos a assíntota horizontal . Quando temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta é uma assíntota oblíqua de ,
uma vez que
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função indicada:
(b) de
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de e estude seu sinal.
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: .
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de e estude seu sinal.