Dizemos que uma reta y=m x+b é uma assíntota do gráfico de uma função f quando
lim x +infty[f(x)-(m x+b)]=0 ou lim x -infty[f(x)-(m x+b)]=0
Quando m=0, temos a assíntota horizontal y=b. Quando m neq 0 temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta y=x-4 é uma assíntota oblíqua de f(x)=x^2-3 x+2x+1,
uma vez que
lim x +infty[x^2-3 x+2x+1-(x-4)] & =lim x +infty[(x^2-3 x+2)-(x^2-3 x-4)x+1] & =lim x +infty[6x+1]=0
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função f indicada:
(b) y=2 x+6 de f(x)=2 x^3x^2-3 x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a reta é uma assíntota da função . A matéria que estamos trabalhando aqui é sobre assíntotas, especificamente assíntotas oblíquas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite para comparar a função com a reta dada conforme vai para mais e menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma assíntota oblíqua. Dizemos que limx to pminfty [f(x) - (mx + b)] = 0 é uma assíntota oblíqua de limx to pminfty [ 2x^3x^2 - 3x + 1 - (2x + 6) ] se:
No nosso caso, e , então precisamos calcular:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiramente, unificamos os termos:
2x^3x^2 - 3x + 1 - 2x - 6 = 2x^3 - 2x(x^2 - 3x + 1) - 6(x^2 - 3x + 1)x^2 - 3x + 1
Simplificando o numerador:
2x^3 - 2x^3 + 6x^2 - 2x - 6x^2 + 18x - 6 = 16x - 6
Então, a expressão fica:
16x - 6x^2 - 3x + 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão conforme limx to pminfty 16x - 6x^2 - 3x + 1 vai para mais e menos infinito:
limx to pminfty 16x - 6x^2 - 3x + 1 = 0
Observamos que o grau do polinômio no denominador ( ) é maior que o do numerador ( ). Quando isso acontece, o limite tende a zero:

Resposta

Como o limite é zero, concluímos que é uma assíntota oblíqua da função .

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