Dizemos que uma reta é uma assíntota do gráfico de uma função quando
Quando , temos a assíntota horizontal . Quando temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta é uma assíntota oblíqua de ,
uma vez que
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função indicada:
(b) de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a reta é uma assíntota da função . A matéria que estamos trabalhando aqui é sobre assíntotas, especificamente assíntotas oblíquas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite para comparar a função com a reta dada conforme vai para mais e menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma assíntota oblíqua. Dizemos que é uma assíntota oblíqua de se:
No nosso caso, e , então precisamos calcular:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiramente, unificamos os termos:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão conforme vai para mais e menos infinito:
Observamos que o grau do polinômio no denominador ( ) é maior que o do numerador ( ). Quando isso acontece, o limite tende a zero:

Resposta

Como o limite é zero, concluímos que é uma assíntota oblíqua da função .

Exercícios relacionados

Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de e estude seu sinal.
Dada a função tal que
determine:
b) .
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (b) .
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: .