Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar as curvas de nível da função
, determinar a imagem dessa função e analisar onde ela é positiva ou negativa. Isso envolve conceitos de funções de duas variáveis, curvas de nível e análise de sinais. Vamos precisar entender como as curvas de nível funcionam e como identificar a imagem e o sinal da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
assume um valor constante. Ou seja, para cada valor
, temos a equação
.
Passo 3
Vamos montar a equação das curvas de nível para
. Igualamos a função a uma constante
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
em função de
:
Essa é a equação da reta correspondente à curva de nível
.
Passo 5
Para desenhar as curvas de nível, escolhemos diferentes valores de
e traçamos as retas
. Por exemplo:
- Se
: - Se
: - Se
:
Essas retas serão paralelas entre si, porque todas têm o mesmo coeficiente angular
.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função
. A imagem de
é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como
e
podem ser quaisquer números reais,
também pode assumir qualquer valor real. Então, a imagem de
é
.
Passo 7
Por fim, vamos estudar o sinal de
:
-
quando , ou seja, -
quando -
quando , ou seja,
Isso nos mostra onde a função é positiva, zero ou negativa no plano.
Resposta
As curvas de nível de
são retas paralelas da forma
para diferentes valores de
. A imagem de
é todos os números reais
. A função
é positiva quando
, zero quando
e negativa quando
.
Exercícios relacionados
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados:
.
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (b)
.
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (d)
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (a)