Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de e estude seu sinal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar as curvas de nível da função , determinar a imagem dessa função e analisar onde ela é positiva ou negativa. Isso envolve conceitos de funções de duas variáveis, curvas de nível e análise de sinais. Vamos precisar entender como as curvas de nível funcionam e como identificar a imagem e o sinal da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para cada valor , temos a equação .

Passo 3

Vamos montar a equação das curvas de nível para . Igualamos a função a uma constante :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para em função de :
Essa é a equação da reta correspondente à curva de nível .

Passo 5

Para desenhar as curvas de nível, escolhemos diferentes valores de e traçamos as retas . Por exemplo:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Essas retas serão paralelas entre si, porque todas têm o mesmo coeficiente angular .

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função . A imagem de é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como e podem ser quaisquer números reais, também pode assumir qualquer valor real. Então, a imagem de é .

Passo 7

Por fim, vamos estudar o sinal de :
  • quando , ou seja,
  • quando
  • quando , ou seja,
Isso nos mostra onde a função é positiva, zero ou negativa no plano.

Resposta

As curvas de nível de são retas paralelas da forma para diferentes valores de . A imagem de é todos os números reais . A função é positiva quando , zero quando e negativa quando .

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Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (a)