Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar as curvas de nível da função
para os valores de
. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar essas curvas no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva de nível. Uma curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. No nosso caso, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para
em termos de
:
Isso nos mostra que, para cada valor de
, a curva de nível será uma hipérbole, já que a equação
representa uma hipérbole para
.
Passo 4
Vamos analisar cada valor de
:
-
Para
: Isso significa que a curva de nível é o eixo. -
Para
: Essa é uma hipérbole que passa pelos pontose . -
Para
: Outra hipérbole, mas que está mais “esticada” em relação à de, passando pelos pontos e .
Passo 5
Para esboçar essas curvas:
- Curva para
: Desenhe o eixo . - Curva para
: Desenhe uma hipérbole que fica nos quadrantes I e III, passando por e . - Curva para
: Desenhe uma hipérbole semelhante à de , mas mais próxima do eixo , passando por e .
Resposta
As curvas de nível da função
para
são:
- Para
: o eixo . - Para
: a hipérbole . - Para
: a hipérbole .
Exercícios relacionados
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (b)
.
Dizemos que uma reta
é uma assíntota do gráfico de uma função
quando
Quando
, temos a assíntota horizontal
. Quando
temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta
é uma assíntota oblíqua de
,
uma vez que
uma vez que
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função
indicada:
(b) de
(b)
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (d)