Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar as curvas de nível da função para os valores de . Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar essas curvas no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva de nível. Uma curva de nível para um valor é o conjunto de pontos que satisfazem a equação . No nosso caso, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para em termos de :
Isso nos mostra que, para cada valor de , a curva de nível será uma hipérbole, já que a equação representa uma hipérbole para .

Passo 4

Vamos analisar cada valor de :
  1. Para :
    Isso significa que a curva de nível é o eixo .
  2. Para :
    Essa é uma hipérbole que passa pelos pontos e .
  3. Para :
    Outra hipérbole, mas que está mais “esticada” em relação à de , passando pelos pontos e .

Passo 5

Para esboçar essas curvas:
  • Curva para : Desenhe o eixo .
  • Curva para : Desenhe uma hipérbole que fica nos quadrantes I e III, passando por e .
  • Curva para : Desenhe uma hipérbole semelhante à de , mas mais próxima do eixo , passando por e .

Resposta

As curvas de nível da função para são:
  • Para : o eixo .
  • Para : a hipérbole .
  • Para : a hipérbole .

Exercícios relacionados

Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (b) .
Dizemos que uma reta é uma assíntota do gráfico de uma função quando
Quando , temos a assíntota horizontal . Quando temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta é uma assíntota oblíqua de ,
uma vez que
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função indicada:
(b) de
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de e estude seu sinal.
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (d)