Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar as superfícies de nível da função para os valores de . Isso significa que vamos desenhar as diferentes “camadas” onde o produto é igual a cada um desses valores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas se comportam para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para . A equação fica . Isso quer dizer que pelo menos um dos valores , ou precisa ser zero para que o produto seja zero. Geometricamente, isso representa as três planas coordenadas:
  • (plano yz),
  • (plano xz),
  • (plano xy).
    Então, para , a superfície de nível é a união dessas três planos.

Passo 3

Agora, vamos para . A equação fica . Essa é uma equação mais interessante porque nenhuma das variáveis pode ser zero (caso contrário, o produto seria zero). Essa superfície é uma hipersuperfície que se assemelha a um hiperboloide. À medida que uma variável aumenta, as outras duas devem diminuir para manter o produto igual a 1. Por exemplo, se aumenta, tanto quanto devem diminuir proporcionalmente.

Passo 4

Por último, vamos para . A equação agora é . Similar ao caso anterior, nenhuma das variáveis pode ser zero. A diferença é que agora o produto das três variáveis é negativo. Isso significa que duas das variáveis devem ser negativas e uma positiva, ou vice-versa. A superfície resultante também é uma espécie de hiperboloide, mas refletida em relação ao plano onde o produto seria positivo.

Resposta

Resumindo, as superfícies de nível da função são:
  • Para : As três planos coordenadas ( , , ).
  • Para : Uma hipersuperfície tipo hiperboloide onde .
  • Para : Uma hipersuperfície tipo hiperboloide refletida onde .

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