Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar as superfícies de nível da função
para os valores de
. Isso significa que vamos desenhar as diferentes “camadas” onde o produto
é igual a cada um desses valores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas se comportam para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para
. A equação fica
. Isso quer dizer que pelo menos um dos valores
,
ou
precisa ser zero para que o produto seja zero. Geometricamente, isso representa as três planas coordenadas:
-
(plano yz), -
(plano xz), -
(plano xy).
Então, para, a superfície de nível é a união dessas três planos.
Passo 3
Agora, vamos para
. A equação fica
. Essa é uma equação mais interessante porque nenhuma das variáveis pode ser zero (caso contrário, o produto seria zero). Essa superfície é uma hipersuperfície que se assemelha a um hiperboloide. À medida que uma variável aumenta, as outras duas devem diminuir para manter o produto igual a 1. Por exemplo, se
aumenta, tanto
quanto
devem diminuir proporcionalmente.
Passo 4
Por último, vamos para
. A equação agora é
. Similar ao caso anterior, nenhuma das variáveis pode ser zero. A diferença é que agora o produto das três variáveis é negativo. Isso significa que duas das variáveis devem ser negativas e uma positiva, ou vice-versa. A superfície resultante também é uma espécie de hiperboloide, mas refletida em relação ao plano onde o produto seria positivo.
Resposta
Resumindo, as superfícies de nível da função
são:
- Para
: As três planos coordenadas ( , , ). - Para
: Uma hipersuperfície tipo hiperboloide onde . - Para
: Uma hipersuperfície tipo hiperboloide refletida onde .
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Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (d)
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (g)
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se
em um intervalo aberto
, então a função
é crescente em
. O que podemos afirmar se
em
? (veja Corolário 1 do Texto 2)