Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar as curvas de nível da função nos níveis . Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis em cálculo, onde analisamos como a função se comporta mantido um valor constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Matemáticamente, isso é representado por:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Para resolver essa equação, nosso objetivo é eliminar a raiz quadrada para simplificar a expressão.
Passo 4
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, obtemos:
Agora, a equação representa uma reta no plano . Isso significa que para cada valor de , teremos uma reta diferente.
Passo 5
Vamos calcular as retas para cada valor de :
Para :
Essa é uma reta que passa pela origem com inclinação negativa.
Para :
Essa reta é paralela à anterior, deslocada para cima.
Para :
Mais uma reta paralela, ainda mais deslocada.
Resposta
As curvas de nível da função para , e são as retas: