Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (d)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçar as curvas de nível da função nos níveis . Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis em cálculo, onde analisamos como a função se comporta mantido um valor constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Matemáticamente, isso é representado por:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
Para resolver essa equação, nosso objetivo é eliminar a raiz quadrada para simplificar a expressão.

Passo 4

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, obtemos:
Agora, a equação representa uma reta no plano . Isso significa que para cada valor de , teremos uma reta diferente.

Passo 5

Vamos calcular as retas para cada valor de :
  • Para :
    Essa é uma reta que passa pela origem com inclinação negativa.
  • Para :
    Essa reta é paralela à anterior, deslocada para cima.
  • Para :
    Mais uma reta paralela, ainda mais deslocada.

Resposta

As curvas de nível da função para , e são as retas:

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Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: .
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (a)
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (g)