Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar as curvas de nível da função
nos níveis
. Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis em cálculo, onde analisamos como a função se comporta mantido um valor constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função
assume um valor constante
. Matemáticamente, isso é representado por:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Para resolver essa equação, nosso objetivo é eliminar a raiz quadrada para simplificar a expressão.
Passo 4
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, obtemos:
Agora, a equação
representa uma reta no plano
. Isso significa que para cada valor de
, teremos uma reta diferente.
Passo 5
Vamos calcular as retas para cada valor de
:
-
Para
: Essa é uma reta que passa pela origem com inclinação negativa. -
Para
: Essa reta é paralela à anterior, deslocada para cima. -
Para
: Mais uma reta paralela, ainda mais deslocada.
Resposta
As curvas de nível da função
para
,
e
são as retas: