Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos as curvas de nível, determinar a imagem da função
e estudar o sinal dessa função. Isso envolve entender como a função se comporta para diferentes valores de
e
, e quais valores
pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função
mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor
, temos
. Vamos montar essa equação:
Passo 3
Agora, resolvemos essa equação para
:
Isso mostra que as curvas de nível são linhas retas com inclinação
e intercepto no ponto
. Cada valor de
nos dá uma linha diferente.
Passo 4
Vamos determinar a imagem de
, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir. Observando a expressão
, percebemos que:
-
não pode ser igual a 2, pois isso tornaria o denominador zero e a função não estaria definida. - Para qualquer valor de
e diferente de 2, podemos obter qualquer número real como resultado.
Então, a imagem de
é
(todos os números reais).
Passo 5
Agora, vamos estudar o sinal de
. O sinal depende tanto de
quanto de
:
- Se
e tiverem o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), a função será positiva. - Se tiverem sinais opostos, a função será negativa.
- Se
, então .
Resposta
As curvas de nível de
são linhas retas da forma
. A imagem da função é todo o conjunto dos números reais
. O sinal de
é positivo quando
e
têm o mesmo sinal, negativo quando têm sinais opostos, e zero quando
.