Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de f(x, y) e estude seu sinal. f(x, y) = y / (x - 2),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos as curvas de nível, determinar a imagem da função e estudar o sinal dessa função. Isso envolve entender como a função se comporta para diferentes valores de e , e quais valores pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor , temos . Vamos montar essa equação:

Passo 3

Agora, resolvemos essa equação para :
Isso mostra que as curvas de nível são linhas retas com inclinação e intercepto no ponto . Cada valor de nos dá uma linha diferente.

Passo 4

Vamos determinar a imagem de , ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir. Observando a expressão , percebemos que:
  • não pode ser igual a 2, pois isso tornaria o denominador zero e a função não estaria definida.
  • Para qualquer valor de e diferente de 2, podemos obter qualquer número real como resultado.
Então, a imagem de é (todos os números reais).

Passo 5

Agora, vamos estudar o sinal de . O sinal depende tanto de quanto de :
  • Se e tiverem o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), a função será positiva.
  • Se tiverem sinais opostos, a função será negativa.
  • Se , então .

Resposta

As curvas de nível de são linhas retas da forma . A imagem da função é todo o conjunto dos números reais . O sinal de é positivo quando e têm o mesmo sinal, negativo quando têm sinais opostos, e zero quando .

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