Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se
em um intervalo aberto
, então a função
é crescente em
. O que podemos afirmar se
em
? (veja Corolário 1 do Texto 2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que se a derivada de uma função
é maior que zero em um intervalo
, então a função
é crescente nesse intervalo. Além disso, quer saber o que acontece se
for menor que zero. Vamos precisar entender o Teorema do Valor Médio e como ele se relaciona com o comportamento crescente ou decrescente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função
é contínua em
e diferenciável em
, então existe pelo menos um ponto
em
onde:
Isso basicamente conecta a derivada com a variação média da função no intervalo.
Passo 3
Agora, suponha que
em todo o intervalo
. Isso significa que a derivada em qualquer ponto do intervalo é positiva. Aplicando o Teorema do Valor Médio, para qualquer par de pontos
e
em
com
, existe um
tal que:
Como
e
, então
, o que implica que
. Isso mostra que conforme avançamos no intervalo, os valores da função aumentam, ou seja,
é crescente em
.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caso em que
em todo o intervalo
. De novo, usando o Teorema do Valor Médio, temos:
Aqui,
e
, então
. Isso significa que
, ou seja,
. Portanto, conforme avançamos no intervalo, os valores da função diminuem, indicando que
é decrescente em
.
Resposta
Usando o Teorema do Valor Médio, mostramos que se
em um intervalo
, então
é crescente em
. Além disso, se
em
, então
é decrescente nesse intervalo.
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Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (g)
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (a)
Lembrando que
tem máximo e mínimo em
, conclua que
para algum
.
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.
,