Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se em um intervalo aberto , então a função é crescente em . O que podemos afirmar se em ? (veja Corolário 1 do Texto 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que se a derivada de uma função é maior que zero em um intervalo , então a função é crescente nesse intervalo. Além disso, quer saber o que acontece se for menor que zero. Vamos precisar entender o Teorema do Valor Médio e como ele se relaciona com o comportamento crescente ou decrescente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função é contínua em e diferenciável em , então existe pelo menos um ponto em onde:
Isso basicamente conecta a derivada com a variação média da função no intervalo.

Passo 3

Agora, suponha que em todo o intervalo . Isso significa que a derivada em qualquer ponto do intervalo é positiva. Aplicando o Teorema do Valor Médio, para qualquer par de pontos e em com , existe um tal que:
Como e , então , o que implica que . Isso mostra que conforme avançamos no intervalo, os valores da função aumentam, ou seja, é crescente em .

Passo 4

Agora, vamos considerar o caso em que em todo o intervalo . De novo, usando o Teorema do Valor Médio, temos:
Aqui, e , então . Isso significa que , ou seja, . Portanto, conforme avançamos no intervalo, os valores da função diminuem, indicando que é decrescente em .

Resposta

Usando o Teorema do Valor Médio, mostramos que se em um intervalo , então é crescente em . Além disso, se em , então é decrescente nesse intervalo.

Exercícios relacionados

Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (g)
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (a)
Lembrando que tem máximo e mínimo em , conclua que para algum .
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de e estude seu sinal. ,