Lembrando que g tem máximo e mínimo em [a, b], conclua que g'(x0) = 0 para algum x0 in (a, b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a função tem um ponto de máximo e um de mínimo no intervalo fechado . A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e como elas se comportam em pontos de máximo e mínimo, para mostrar que existe algum ponto dentro do intervalo onde a derivada de é zero, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma função atinge um ponto de máximo ou mínimo em um intervalo aberto , e se a função é diferenciável nesse ponto, então a derivada nesse ponto deve ser zero. Isso é o que chamamos de Teorema de Fermat.

Passo 3

No nosso caso, a função atinge tanto um máximo quanto um mínimo no intervalo fechado . Isso significa que pelo menos um desses pontos de extremidade ou algum ponto interno é onde ocorre o máximo ou o mínimo.

Passo 4

Agora, sabemos que em um intervalo fechado , a função atinge seu máximo e mínimo (Teorema de Weierstrass). Se esses pontos de máximo e mínimo forem internos, ou seja, estiverem dentro de , então, pela condição de Fermat, a derivada nesses pontos deve ser zero.

Passo 5

Portanto, existe pelo menos um ponto dentro do intervalo onde a derivada de é zero, ou seja, .

Resposta

Concluímos que existe algum ponto onde .

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