Lembrando que
tem máximo e mínimo em
, conclua que
para algum
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a função
tem um ponto de máximo e um de mínimo no intervalo fechado
. A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e como elas se comportam em pontos de máximo e mínimo, para mostrar que existe algum ponto
dentro do intervalo
onde a derivada de
é zero, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma função atinge um ponto de máximo ou mínimo em um intervalo aberto
, e se a função é diferenciável nesse ponto, então a derivada nesse ponto deve ser zero. Isso é o que chamamos de Teorema de Fermat.
Passo 3
No nosso caso, a função
atinge tanto um máximo quanto um mínimo no intervalo fechado
. Isso significa que pelo menos um desses pontos de extremidade ou algum ponto interno
é onde ocorre o máximo ou o mínimo.
Passo 4
Agora, sabemos que em um intervalo fechado
, a função atinge seu máximo e mínimo (Teorema de Weierstrass). Se esses pontos de máximo e mínimo forem internos, ou seja, estiverem dentro de
, então, pela condição de Fermat, a derivada nesses pontos deve ser zero.
Passo 5
Portanto, existe pelo menos um ponto
dentro do intervalo
onde a derivada de
é zero, ou seja,
.
Resposta
Concluímos que existe algum ponto
onde
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se
em um intervalo aberto
, então a função
é crescente em
. O que podemos afirmar se
em
? (veja Corolário 1 do Texto 2)
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (g)
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.
,
Verifique que, se
é a reta que passa por
e
, então