Lembrando que tem máximo e mínimo em , conclua que para algum .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a função tem um ponto de máximo e um de mínimo no intervalo fechado . A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e como elas se comportam em pontos de máximo e mínimo, para mostrar que existe algum ponto dentro do intervalo onde a derivada de é zero, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma função atinge um ponto de máximo ou mínimo em um intervalo aberto , e se a função é diferenciável nesse ponto, então a derivada nesse ponto deve ser zero. Isso é o que chamamos de Teorema de Fermat.

Passo 3

No nosso caso, a função atinge tanto um máximo quanto um mínimo no intervalo fechado . Isso significa que pelo menos um desses pontos de extremidade ou algum ponto interno é onde ocorre o máximo ou o mínimo.

Passo 4

Agora, sabemos que em um intervalo fechado , a função atinge seu máximo e mínimo (Teorema de Weierstrass). Se esses pontos de máximo e mínimo forem internos, ou seja, estiverem dentro de , então, pela condição de Fermat, a derivada nesses pontos deve ser zero.

Passo 5

Portanto, existe pelo menos um ponto dentro do intervalo onde a derivada de é zero, ou seja, .

Resposta

Concluímos que existe algum ponto onde .

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Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se em um intervalo aberto , então a função é crescente em . O que podemos afirmar se em ? (veja Corolário 1 do Texto 2)
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (g)
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de e estude seu sinal. ,
Verifique que, se é a reta que passa por e , então