Para as funções
abaixo determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento e assíntotas. Note que as derivadas já estão dadas.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e a derivada dela
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar os pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, além de verificar as assíntotas dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Olhando para
, a derivada será zero quando o numerador for zero. Então:
Resolvendo isso:
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
(
). Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, usamos o teste da derivada primeira:
- Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um máximo local.
- Se muda de negativa para positiva, temos um mínimo local.
Vamos analisar o sinal da derivada em torno de
e
.
Para
:
- Para
, por exemplo : - Para
, por exemplo (mas é assíntota, então escolhemos ):
A derivada muda de positiva para negativa em
, então
é um máximo local.
Para
:
- Para
, por exemplo : - Para
, por exemplo :
A derivada muda de negativa para positiva em
, então
é um mínimo local.
Passo 4
Vamos agora identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Isso se baseia no sinal da derivada
:
- Crescimento: Quando
- Decrescimento: Quando
Analisando os intervalos:
-
Intervalo
: - Escolhemos
: - Então, a função está crescendo nesse intervalo.
- Escolhemos
-
Intervalo
: - Escolhemos
: - Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Escolhemos
-
Intervalo
: - Escolhemos
: - Então, a função continua decrescendo nesse intervalo.
- Escolhemos
-
Intervalo
: - Escolhemos
: - Então, a função está crescendo novamente nesse intervalo.
- Escolhemos
Passo 5
Por último, vamos encontrar as assíntotas da função
.
-
Assíntota vertical:
- Ocorre onde o denominador é zero, ou seja,
. - Então, temos uma assíntota vertical em
.
- Ocorre onde o denominador é zero, ou seja,
-
Assíntota oblíqua:
- Como o grau do numerador (
) é um a mais que o do denominador ( ), existe uma assíntota oblíqua. - Fazemos a divisão polinomial de
por : Então, a assíntota oblíqua é .
- Como o grau do numerador (
Resposta
- Pontos críticos:
(máximo local) e (mínimo local). - Máximo local em
. - Mínimo local em
. - Intervalos de crescimento:
e . - Intervalos de decrescimento:
e . - Assíntotas:
- Vertical em
. - Oblíqua em
.
- Vertical em
Exercícios relacionados
Verifique que, se
é a reta que passa por
e
, então
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.
,
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: ©
.
Calcule as integrais indefinidas: