Para as funções abaixo determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento e assíntotas. Note que as derivadas já estão dadas.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e a derivada dela . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar os pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, além de verificar as assíntotas dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Olhando para , a derivada será zero quando o numerador for zero. Então:
Resolvendo isso:
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando ( ). Então, os pontos críticos são e .

Passo 3

Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, usamos o teste da derivada primeira:
  • Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um máximo local.
  • Se muda de negativa para positiva, temos um mínimo local.
Vamos analisar o sinal da derivada em torno de e .
Para :
  • Para , por exemplo :
  • Para , por exemplo (mas é assíntota, então escolhemos ):
A derivada muda de positiva para negativa em , então é um máximo local.
Para :
  • Para , por exemplo :
  • Para , por exemplo :
A derivada muda de negativa para positiva em , então é um mínimo local.

Passo 4

Vamos agora identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Isso se baseia no sinal da derivada :
  • Crescimento: Quando
  • Decrescimento: Quando
Analisando os intervalos:
  1. Intervalo :
    • Escolhemos :
    • Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolhemos :
    • Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    • Escolhemos :
    • Então, a função continua decrescendo nesse intervalo.
  4. Intervalo :
    • Escolhemos :
    • Então, a função está crescendo novamente nesse intervalo.

Passo 5

Por último, vamos encontrar as assíntotas da função .
  1. Assíntota vertical:
    • Ocorre onde o denominador é zero, ou seja, .
    • Então, temos uma assíntota vertical em .
  2. Assíntota oblíqua:
    • Como o grau do numerador ( ) é um a mais que o do denominador ( ), existe uma assíntota oblíqua.
    • Fazemos a divisão polinomial de por : Então, a assíntota oblíqua é .

Resposta

  • Pontos críticos: (máximo local) e (mínimo local).
  • Máximo local em .
  • Mínimo local em .
  • Intervalos de crescimento: e .
  • Intervalos de decrescimento: e .
  • Assíntotas:
    • Vertical em .
    • Oblíqua em .

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Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: © .
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