Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar as curvas de nível da função
no intervalo
e
. Além disso, precisamos determinar a imagem dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e o que significa a imagem de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para cada valor fixo de
, a curva de nível é o conjunto de pontos
tais que
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Observe que
depende apenas de
e não de
. Isso significa que, para qualquer valor de
, o valor de
só depende de
.
Passo 4
Vamos encontrar as curvas de nível. Seja
. Para cada
fixo, temos:
Resolvendo para
:
Como
varia entre
e
,
varia de
a
e volta para
.
Passo 5
Como a função não depende de
, para cada valor de
que satisfaz
,
pode ser qualquer número real não negativo (
). Isso significa que cada curva de nível será uma linha vertical no gráfico para um valor específico de
.
Passo 6
Agora, vamos desenhar as curvas de nível:
- Para
: ou - Para
: e - Para
:
Essas são linhas verticais em
,
,
,
e
.
Passo 7
Por fim, vamos determinar a imagem da função. A imagem de
é o conjunto de todos os valores que
pode assumir dentro do intervalo dado. Sabemos que
varia entre
e
para
.
Resposta
A imagem da função
no domínio
e
é o intervalo
.
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Resolva as equações diferenciais parciais abaixo:
Seja
Determine
Determine
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função