Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar as curvas de nível da função no intervalo e . Além disso, precisamos determinar a imagem dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e o que significa a imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para cada valor fixo de , a curva de nível é o conjunto de pontos tais que .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Observe que depende apenas de e não de . Isso significa que, para qualquer valor de , o valor de só depende de .

Passo 4

Vamos encontrar as curvas de nível. Seja . Para cada fixo, temos:
Resolvendo para :
Como varia entre e , varia de a e volta para .

Passo 5

Como a função não depende de , para cada valor de que satisfaz , pode ser qualquer número real não negativo ( ). Isso significa que cada curva de nível será uma linha vertical no gráfico para um valor específico de .

Passo 6

Agora, vamos desenhar as curvas de nível:
  • Para : ou
  • Para : e
  • Para :
Essas são linhas verticais em , , , e .

Passo 7

Por fim, vamos determinar a imagem da função. A imagem de é o conjunto de todos os valores que pode assumir dentro do intervalo dado. Sabemos que varia entre e para .

Resposta

A imagem da função no domínio e é o intervalo .

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Resolva as equações diferenciais parciais abaixo:
Seja
Determine
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função