Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos começar pelo básico! O exercício pede para a gente desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função
Isso está dentro do tópico de Cálculo Multivariável, onde estudamos funções de várias variáveis, como essa de dois elementos
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas nos ajudam a visualizar funções de duas variáveis. Também vamos usar um pouco de geometria para esboçar o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
representa. Ela soma duas distâncias:
- A distância do ponto
até . - A distância do ponto
até .
A fórmula da distância entre dois pontos
e
é dada por:
Então, nossa função
está somando essas duas distâncias.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função
assume o mesmo valor constante
. Ou seja, para um valor fixo de
, a curva de nível é:
Nosso objetivo é desenhar essas curvas para diferentes valores de
e ver como elas se comportam.
Passo 4
Vamos analisar a equação das curvas de nível:
Isso representa o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (-1,0) e (1,0) é igual a
. Geometricamente, isso é conhecido como uma elipse, desde que
seja maior que a distância entre os dois pontos fixos.
A distância entre
e
é 2 unidades, então
deve ser maior que 2 para que a curva seja uma elipse.
Passo 5
Para desenhar as curvas de nível, escolhemos diferentes valores de
maiores que 2 e desenhamos as elipses correspondentes. Por exemplo:
- Para
, teremos uma elipse mais próxima dos pontos fixos. - Para
, a elipse será maior e mais afastada.
Cada elipse tem os pontos
e
como focos, e a soma das distâncias a esses focos é constante e igual a
.
Passo 6
Agora, para esboçar o gráfico da função
, imaginamos essas elipses empilhadas ao longo do eixo
. Cada elipse representa um nível de
igual a
.
No gráfico tridimensional:
- O eixo
representa o valor da função . - Conforme
aumenta, as elipses se afastam um pouco mais no eixo .
O gráfico final será uma espécie de superfície ondulada, onde cada “onda” corresponde a uma elipse diferente.
Resposta
As curvas de nível da função
são elipses com focos em
e
e a soma das distâncias igual a
, onde
. O gráfico da função é uma superfície tridimensional formada por essas elipses empilhadas ao longo do eixo
, resultando em uma superfície ondulada onde cada nível
corresponde a uma elipse específica.
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Seja
Determine
Determine
Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:
Seja
a porção do paraboloide
, acima do quadrado
Calcular a integral de superficie