Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função

Passo 1

Beleza, vamos começar pelo básico! O exercício pede para a gente desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função
Isso está dentro do tópico de Cálculo Multivariável, onde estudamos funções de várias variáveis, como essa de dois elementos e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas nos ajudam a visualizar funções de duas variáveis. Também vamos usar um pouco de geometria para esboçar o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Ela soma duas distâncias:
  1. A distância do ponto até .
  2. A distância do ponto até .
A fórmula da distância entre dois pontos e é dada por:
â
Então, nossa função está somando essas duas distâncias.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume o mesmo valor constante . Ou seja, para um valor fixo de , a curva de nível é:
Nosso objetivo é desenhar essas curvas para diferentes valores de e ver como elas se comportam.

Passo 4

Vamos analisar a equação das curvas de nível:
Isso representa o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (-1,0) e (1,0) é igual a . Geometricamente, isso é conhecido como uma elipse, desde que seja maior que a distância entre os dois pontos fixos.
A distância entre e é 2 unidades, então deve ser maior que 2 para que a curva seja uma elipse.

Passo 5

Para desenhar as curvas de nível, escolhemos diferentes valores de maiores que 2 e desenhamos as elipses correspondentes. Por exemplo:
  • Para , teremos uma elipse mais próxima dos pontos fixos.
  • Para , a elipse será maior e mais afastada.
Cada elipse tem os pontos e como focos, e a soma das distâncias a esses focos é constante e igual a .

Passo 6

Agora, para esboçar o gráfico da função , imaginamos essas elipses empilhadas ao longo do eixo . Cada elipse representa um nível de igual a .
No gráfico tridimensional:
  • O eixo representa o valor da função .
  • Conforme aumenta, as elipses se afastam um pouco mais no eixo .
O gráfico final será uma espécie de superfície ondulada, onde cada “onda” corresponde a uma elipse diferente.

Resposta

As curvas de nível da função são elipses com focos em e e a soma das distâncias igual a , onde . O gráfico da função é uma superfície tridimensional formada por essas elipses empilhadas ao longo do eixo , resultando em uma superfície ondulada onde cada nível corresponde a uma elipse específica.

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