Resolva as equações diferenciais parciais abaixo:
c partial^2 v(x, y)partial x^2=2 x partial zpartial x partial y=x e^y

Passo 1

Então, temos que resolver duas equações diferenciais parciais aqui. A primeira é uma equação envolvendo a segunda derivada de em relação a , e a segunda envolve uma derivada mista de em relação a e . Vamos precisar de conhecimentos de cálculo de derivadas parciais e integração para resolver essas equações.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação:
partial^2 v(x, y)partial x^2 = 2x
Isso significa que a segunda derivada de em relação a é igual a . Para encontrar , precisamos integrar essa expressão duas vezes em relação a .

Passo 3

Primeira integração: Integramos partial vpartial x = integral 2x , dx = x^2 + C(y) em relação a para encontrar a primeira derivada de :
Aqui, é uma função arbitrária que pode depender de , já que estamos integrando em relação a .

Passo 4

Segunda integração: Agora, integramos v(x, y) = integral (x^2 + C(y)) , dx = x^33 + C(y)x + D(y) em relação a para encontrar :
Agora, é outra função arbitrária de .

Passo 5

Então, a solução geral para a primeira equação é:
v(x, y) = x^33 + C(y)x + D(y)
Onde e são funções arbitrárias de .

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação:
partial zpartial x partial y = x e^y
Isso significa que a derivada de primeiro em relação a e depois em relação a é igual a . Para encontrar , vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 7

Primeira integração: Integramos partial zpartial y = integral x e^y , dx = x^22 e^y + C(y) em relação a para encontrar a derivada parcial de em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de .

Passo 8

Segunda integração: Agora, integramos z(x, y) = integral ( x^22 e^y + C(y) ) , dy = x^22 e^y + integral C(y) , dy + D(x) em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função arbitrária de .

Passo 9

A função z(x, y) = x^22 e^y + K(y) + D(x) pode ser representada como outra função arbitrária de , digamos . Então, a solução geral para é:

Resposta

As soluções gerais das equações diferenciais parciais são:
v(x, y) = x^33 + C(y)x + D(y)
z(x, y) = x^22 e^y + K(y) + D(x)
Onde , , e são funções arbitrárias de ou respectivamente.

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