Resolva as equações diferenciais parciais abaixo:
Passo 1
Então, temos que resolver duas equações diferenciais parciais aqui. A primeira é uma equação envolvendo a segunda derivada de
em relação a
, e a segunda envolve uma derivada mista de
em relação a
e
. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo de derivadas parciais e integração para resolver essas equações.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação:
Isso significa que a segunda derivada de
em relação a
é igual a
. Para encontrar
, precisamos integrar essa expressão duas vezes em relação a
.
Passo 3
Primeira integração: Integramos
em relação a
para encontrar a primeira derivada de
:
Aqui,
é uma função arbitrária que pode depender de
, já que estamos integrando em relação a
.
Passo 4
Segunda integração: Agora, integramos
em relação a
para encontrar
:
Agora,
é outra função arbitrária de
.
Passo 5
Então, a solução geral para a primeira equação é:
Onde
e
são funções arbitrárias de
.
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda equação:
Isso significa que a derivada de
primeiro em relação a
e depois em relação a
é igual a
. Para encontrar
, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 7
Primeira integração: Integramos
em relação a
para encontrar a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
.
Passo 8
Segunda integração: Agora, integramos
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
.
Passo 9
A função
pode ser representada como outra função arbitrária de
, digamos
. Então, a solução geral para
é:
Resposta
As soluções gerais das equações diferenciais parciais são:
Onde
,
,
e
são funções arbitrárias de
ou
respectivamente.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais parciais abaixo:
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo
em
; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
.
Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:
Desenhe as curvas de nível e determine a imagem: