Resolva as equações diferenciais parciais abaixo:

Passo 1

Então, temos que resolver duas equações diferenciais parciais aqui. A primeira é uma equação envolvendo a segunda derivada de em relação a , e a segunda envolve uma derivada mista de em relação a e . Vamos precisar de conhecimentos de cálculo de derivadas parciais e integração para resolver essas equações.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação:
Isso significa que a segunda derivada de em relação a é igual a . Para encontrar , precisamos integrar essa expressão duas vezes em relação a .

Passo 3

Primeira integração: Integramos em relação a para encontrar a primeira derivada de :
Aqui, é uma função arbitrária que pode depender de , já que estamos integrando em relação a .

Passo 4

Segunda integração: Agora, integramos em relação a para encontrar :
Agora, é outra função arbitrária de .

Passo 5

Então, a solução geral para a primeira equação é:
Onde e são funções arbitrárias de .

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação:
Isso significa que a derivada de primeiro em relação a e depois em relação a é igual a . Para encontrar , vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 7

Primeira integração: Integramos em relação a para encontrar a derivada parcial de em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de .

Passo 8

Segunda integração: Agora, integramos em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função arbitrária de .

Passo 9

A função pode ser representada como outra função arbitrária de , digamos . Então, a solução geral para é:

Resposta

As soluções gerais das equações diferenciais parciais são:
Onde , , e são funções arbitrárias de ou respectivamente.

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Resolva as equações diferenciais parciais abaixo:
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo em ; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos. .
Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:
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