Seja f(x, y, z)=(e^x-1, y(x-1)x^2-1, 3 x z)
Determine lim (x, y, z) (1,2,1) f(x, y, z)

Passo 1

Vamos calcular o limite da função vetorial f(x, y, z) = (e^x-1, y(x-1)x^2-1, 3 x z) quando o ponto (x, y, z) se aproxima de (1, 2, 1). Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de funções vetoriais e de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial separadamente. O limite de uma função vetorial é o vetor formado pelos limites de cada uma das suas componentes.

Passo 3

Vamos calcular o limite da primeira componente: e^x-1 quando x to 1. Como a função exponencial é contínua, podemos substituir diretamente o valor:
limx to 1 e^x-1 = e^1-1 = e^0 = 1

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: y(x-1)x^2-1. Observamos que o denominador pode ser fatorado:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Assim, a expressão fica:
y(x-1)(x-1)(x+1) = yx + 1, para x neq 1
Agora, podemos calcular o limite substituindo (x, y, z) to (1, 2, 1):
lim(x,y,z)to(1,2,1) yx + 1 = 21 + 1 = 1

Passo 5

Por fim, vamos para a terceira componente: 3 x z. Como é uma função polinomial, podemos substituir diretamente os valores:
lim(x,y,z)to(1,2,1) 3 x z = 3 times 1 times 1 = 3

Resposta

lim (x, y, z) (1,2,1) f(x, y, z) = (1, 1, 3)

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