Desenhe as curvas de nivel e determine a imagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para desenharmos as curvas de nível da função e determinar a imagem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor , a curva de nível é definida por .

Passo 3

Vamos definir . Então, temos:

Passo 4

Essa equação representa uma elipse quando . Para desenhar as curvas de nível, vamos escolher alguns valores de e esboçar as elipses correspondentes.

Passo 5

Vamos escolher, por exemplo, , e .
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Cada uma dessas equações representa uma elipse com o centro na origem. A forma geral da elipse é , onde e determinam os semi-eixos.

Passo 7

Para :
Isso significa que a elipse terá um semi-eixo horizontal de 1 e um semi-eixo vertical de 2.

Passo 8

Para :
Assim, a elipse será maior, com semi-eixo horizontal de e vertical de .

Passo 9

Para :
Novamente, a elipse se alarga ainda mais.

Passo 10

Agora, vamos determinar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Como e são sempre maiores ou iguais a zero, . Portanto, a imagem de é .

Resposta

As curvas de nível de são elipses com centros na origem e aumentam de tamanho conforme aumenta. A imagem da função é .

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