Desenhe as curvas de nivel e determine a imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para desenharmos as curvas de nível da função
e determinar a imagem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
assume um valor constante. Ou seja, para um valor
, a curva de nível é definida por
.
Passo 3
Vamos definir
. Então, temos:
Passo 4
Essa equação representa uma elipse quando
. Para desenhar as curvas de nível, vamos escolher alguns valores de
e esboçar as elipses correspondentes.
Passo 5
Vamos escolher, por exemplo,
,
e
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Cada uma dessas equações representa uma elipse com o centro na origem. A forma geral da elipse é
, onde
e
determinam os semi-eixos.
Passo 7
Para
:
Isso significa que a elipse terá um semi-eixo horizontal de 1 e um semi-eixo vertical de 2.
Passo 8
Para
:
Assim, a elipse será maior, com semi-eixo horizontal de
e vertical de
.
Passo 9
Para
:
Novamente, a elipse se alarga ainda mais.
Passo 10
Agora, vamos determinar a imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
Como
e
são sempre maiores ou iguais a zero,
. Portanto, a imagem de
é
.
Resposta
As curvas de nível de
são elipses com centros na origem e aumentam de tamanho conforme
aumenta. A imagem da função é
.
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.
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restrita ao conjunto
.
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