Use o Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremantes de restrita ao conjunto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremos da função no conjunto onde . Basicamente, vamos buscar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro do disco unitário. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e a técnica dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar os pontos críticos dentro da região . Isso significa encontrar onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
E em relação a :
Vamos igualar ambas a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto está realmente dentro do nosso conjunto restrito, ou seja, se satisfaz .
Calculando:
Como é verdadeiro, o ponto é um candidato para extremo dentro da região.

Passo 4

Em seguida, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos na fronteira do conjunto, ou seja, onde .
Definimos a função . Os Multiplicadores de Lagrange nos dizem que, no extremo, o gradiente de é paralelo ao gradiente de , ou seja:
Calculando os gradientes:
Então, temos as equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações. Da equação (2):
  • Se , então .
  • Se , precisamos analisar separadamente.
Caso 1: e .
Substituindo na equação (1):
Então, . Usando a equação (3):
Assim, temos dois pontos: e .
Caso 2: .
Com e usando a equação (3):
Vamos verificar as equações:
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos são e .

Passo 6

Agora, temos todos os candidatos para extremos:
  • Interior:
  • Fronteira: , , , e .
Vamos calcular o valor de em cada ponto para classificar os extremos.
Para :
Para e :
Para :
Para :

Resposta

Os extremos da função restrita a são:
  • Mínimo local em com valor .
  • Máximos locais em e com valor .
  • Máximo absoluto em com valor .
  • O ponto não constitui um extremo relativo, já que seu valor está entre os valores dos outros pontos encontrados.

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