Use o Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremantes de
restrita ao conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremos da função
no conjunto onde
. Basicamente, vamos buscar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro do disco unitário. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e a técnica dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar os pontos críticos dentro da região
. Isso significa encontrar onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E em relação a
:
Vamos igualar ambas a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto está realmente dentro do nosso conjunto restrito, ou seja, se satisfaz
.
Calculando:
Como é verdadeiro, o ponto
é um candidato para extremo dentro da região.
Passo 4
Em seguida, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos na fronteira do conjunto, ou seja, onde
.
Definimos a função
. Os Multiplicadores de Lagrange nos dizem que, no extremo, o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
, ou seja:
Calculando os gradientes:
Então, temos as equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações. Da equação (2):
- Se
, então . - Se
, precisamos analisar separadamente.
Caso 1:
e
.
Substituindo
na equação (1):
Então,
. Usando a equação (3):
Assim, temos dois pontos:
e
.
Caso 2:
.
Com
e usando a equação (3):
Vamos verificar as equações:
- Para
:
- Para
:
Então, os pontos são
e
.
Passo 6
Agora, temos todos os candidatos para extremos:
- Interior:
- Fronteira:
, , , e .
Vamos calcular o valor de
em cada ponto para classificar os extremos.
Para
:
Para
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os extremos da função
restrita a
são:
- Mínimo local em
com valor . - Máximos locais em
e com valor . - Máximo absoluto em
com valor . - O ponto
não constitui um extremo relativo, já que seu valor está entre os valores dos outros pontos encontrados.
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