Desenhe as curvas de nível e determine a imagem da função. (Sugestão: utilize um software gráfico.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar as curvas de nível da função
e descobrir qual é a imagem dessa função. Pra fazer isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e o que significa imagem de uma função. Vamos juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Imagina que você tem uma função que depende de duas variáveis, como essa aqui
. As curvas de nível são tipo “linhas” no plano onde a função tem o mesmo valor. Ou seja, pra cada valor
que a função pode assumir, a curva de nível correspondente é o conjunto de pontos
que satisfazem
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, a gente vai definir as curvas de nível igualando a função a uma constante
:
Isso quer dizer que pra cada
, a curva de nível é formada pelos pontos
que fazem essa equação verdadeira.
Passo 4
Vamos rearranjar essa equação pra deixar
isolado:
Isso mostra que cada curva de nível é basicamente o gráfico da função
deslocado verticalmente pelo valor de
. Então, se você pegar diferentes valores de
, vai ter várias curvas de nível, todas com o formato da cossenoide, mas em alturas diferentes.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre a imagem da função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode realmente assumir quando consideramos todas as possíveis entradas
.
Passo 6
Observando a nossa função
, vemos que
sempre varia entre -1 e 1, ou seja,
. Então,
pode ser reescrito como:
Como
pode ser qualquer número real, ao subtrair ou adicionar 1 não limita o valor de
. Portanto,
pode ser qualquer número real.
Resposta
A imagem da função
é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.