Desenhe as curvas de nível e determine a imagem da função. (Sugestão: utilize um software gráfico.)
f(x, y) = y - cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar as curvas de nível da função e descobrir qual é a imagem dessa função. Pra fazer isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e o que significa imagem de uma função. Vamos juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Imagina que você tem uma função que depende de duas variáveis, como essa aqui . As curvas de nível são tipo “linhas” no plano onde a função tem o mesmo valor. Ou seja, pra cada valor que a função pode assumir, a curva de nível correspondente é o conjunto de pontos que satisfazem .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , a gente vai definir as curvas de nível igualando a função a uma constante :
Isso quer dizer que pra cada , a curva de nível é formada pelos pontos que fazem essa equação verdadeira.

Passo 4

Vamos rearranjar essa equação pra deixar isolado:
Isso mostra que cada curva de nível é basicamente o gráfico da função deslocado verticalmente pelo valor de . Então, se você pegar diferentes valores de , vai ter várias curvas de nível, todas com o formato da cossenoide, mas em alturas diferentes.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre a imagem da função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode realmente assumir quando consideramos todas as possíveis entradas .

Passo 6

Observando a nossa função , vemos que sempre varia entre -1 e 1, ou seja, . Então, pode ser reescrito como:
Como pode ser qualquer número real, ao subtrair ou adicionar 1 não limita o valor de . Portanto, pode ser qualquer número real.

Resposta

A imagem da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

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