Determine, caso existam e usando curvas de nível, os valores máximo e mínimo de
em
; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
no conjunto
, que é definido pela reta
. Isso faz parte do estudo de otimização com restrições usando curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar extremos de uma função sujeita a uma condição específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
representa. Essa função calcula o quadrado da distância de um ponto
até a origem do plano. Ou seja, queremos encontrar os pontos na reta
que estão mais próximos e mais distantes da origem.
Passo 3
A reta
é dada por
. Podemos reescrever essa equação para expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo, vamos isolar
:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de
na função
:
Vamos expandir e simplificar:
Passo 5
Agora, temos uma função de uma variável
. Para encontrar os extremos (mínimo e máximo), vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação da reta para achar
:
Passo 7
Então, o ponto
é onde a função
atinge seu valor mínimo na reta
.
Para confirmar que é um mínimo, podemos verificar a segunda derivada:
Como a segunda derivada é positiva, realmente temos um mínimo local.
Passo 8
Quanto ao valor máximo, como a reta
é infinita, a função
não possui um valor máximo nesse conjunto, pois à medida que
cresce ou diminui sem limite,
tende ao infinito.
Resposta
O valor mínimo de
em
é
e ocorre no ponto
. Não existe valor máximo para
em
.