Determine, caso existam e usando curvas de nível, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
f(x, y) = x^2 + y^2 e A = {(x, y) em R^2 | x + 2y = 1}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função no conjunto , que é definido pela reta . Isso faz parte do estudo de otimização com restrições usando curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar extremos de uma função sujeita a uma condição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Essa função calcula o quadrado da distância de um ponto até a origem do plano. Ou seja, queremos encontrar os pontos na reta que estão mais próximos e mais distantes da origem.

Passo 3

A reta é dada por . Podemos reescrever essa equação para expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo, vamos isolar :

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de na função :
Vamos expandir e simplificar:

Passo 5

Agora, temos uma função de uma variável . Para encontrar os extremos (mínimo e máximo), vamos derivar em relação a e igualar a zero:

Passo 6

Com o valor de encontrado, substituímos de volta na equação da reta para achar :

Passo 7

Então, o ponto é onde a função atinge seu valor mínimo na reta .
Para confirmar que é um mínimo, podemos verificar a segunda derivada:
Como a segunda derivada é positiva, realmente temos um mínimo local.

Passo 8

Quanto ao valor máximo, como a reta é infinita, a função não possui um valor máximo nesse conjunto, pois à medida que cresce ou diminui sem limite, tende ao infinito.

Resposta

O valor mínimo de em é e ocorre no ponto . Não existe valor máximo para em .

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