Desenhe as curvas de nível e determine a imagem da função. (Sugestão: utilize um software gráfico.)
Passo 1
O enunciado pede para desenharmos as curvas de nível e determinarmos a imagem da função
. Vamos trabalhar com funções de duas variáveis e entender como identificar suas curvas de nível e a imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função mantém um valor constante. Ou seja, fixamos
, onde
é uma constante, e resolvemos a equação para relacionar
e
.
No nosso caso:
Isso representa uma reta que passa pela origem com inclinação
. Cada valor de
dará uma reta diferente.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função
. A imagem da função é o conjunto de todos os valores possíveis que
pode assumir.
Considerando que
e
podem ser quaisquer números reais, exceto
(para evitar divisão por zero), a razão
pode assumir qualquer valor real. Não há restrições adicionais além de
.
Resposta
A imagem da função
é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.