Determine, caso existam e usando curvas de nível, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
f(x, y) = ln(9 - x^2 - 9y^2) e A = {(x, y) em R^2 | x - y = 1}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e um conjunto definido pela equação . Queremos encontrar, usando curvas de nível, os valores máximo e mínimo de em , além dos pontos onde esses valores são atingidos. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Vamos parametrizar o conjunto . A equação pode ser reescrita como . Isso nos permite expressar em termos de uma única variável:

Passo 3

Simplificamos a expressão dentro do logaritmo:
Portanto, a função simplificada é:

Passo 4

Para que seja definida, o argumento do logaritmo deve ser positivo:
Isso nos diz que deve estar no intervalo para que seja real.

Passo 5

Agora, para encontrar os valores máximo e mínimo de no intervalo , vamos analisar a função , pois o logaritmo é uma função crescente, então os extremos de correspondem aos extremos de .

Passo 6

Calculamos a derivada de :
Igualamos a derivada a zero para encontrar pontos críticos:

Passo 7

Para determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo, observamos a concavidade da função. A segunda derivada de é:
Como , a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando que é um ponto de máximo para e, consequentemente, para .

Passo 8

Calculamos o valor máximo de em :
Logo, o valor máximo de é:

Passo 9

Para o mínimo, observamos os limites de quando se aproxima de 0 e de 1.8. À medida que se aproxima de 0 ou de 1.8, se aproxima de 0, fazendo com que se aproxime de . Portanto, não possui um valor mínimo finito em .

Resposta

O valor máximo de em é aproximadamente , atingido no ponto . Não existe um valor mínimo finito para em .

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