Determine, caso existam e usando curvas de nível, os valores máximo e mínimo de
em
; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e um conjunto
definido pela equação
. Queremos encontrar, usando curvas de nível, os valores máximo e mínimo de
em
, além dos pontos onde esses valores são atingidos. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Vamos parametrizar o conjunto
. A equação
pode ser reescrita como
. Isso nos permite expressar
em termos de uma única variável:
Passo 3
Simplificamos a expressão dentro do logaritmo:
Portanto, a função simplificada é:
Passo 4
Para que
seja definida, o argumento do logaritmo deve ser positivo:
Isso nos diz que
deve estar no intervalo
para que
seja real.
Passo 5
Agora, para encontrar os valores máximo e mínimo de
no intervalo
, vamos analisar a função
, pois o logaritmo é uma função crescente, então os extremos de
correspondem aos extremos de
.
Passo 6
Calculamos a derivada de
:
Igualamos a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Passo 7
Para determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo, observamos a concavidade da função. A segunda derivada de
é:
Como
, a função
é côncava para baixo nesse ponto, indicando que
é um ponto de máximo para
e, consequentemente, para
.
Passo 8
Calculamos o valor máximo de
em
:
Logo, o valor máximo de
é:
Passo 9
Para o mínimo, observamos os limites de
quando
se aproxima de 0 e de 1.8. À medida que
se aproxima de 0 ou de 1.8,
se aproxima de 0, fazendo com que
se aproxime de
. Portanto,
não possui um valor mínimo finito em
.
Resposta
O valor máximo de
em
é aproximadamente
, atingido no ponto
. Não existe um valor mínimo finito para
em
.