Determine, caso existam e usando curvas de nível, os valores máximo e mínimo de
em
; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os valores máximo e mínimo da função
no conjunto
usando curvas de nível. Isso envolve entender onde a função atinge seus maiores e menores valores possíveis no plano inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Para
, as curvas de nível são dadas por
, onde
é uma constante. Essas são hiperbolas que se abrem nos quadrantes I e III se
, e nos quadrantes II e IV se
.
Passo 3
Agora, para encontrar os valores máximo e mínimo, precisamos ver se existem limites superiores ou inferiores para
quando
e
variam em todos os números reais. Observando as curvas de nível, percebemos que podemos escolher valores de
cada vez maiores ou menores (positivos e negativos) sem limite. Isso significa que
pode crescer indefinidamente ou decrescer indefinidamente.
Passo 4
Como não há restrições no conjunto
que limitem os valores de
e
, a função
não atinge um valor máximo ou mínimo específico. Ou seja, não existem pontos onde a função atinja um valor máximo ou mínimo absoluto no plano inteiro.
Resposta
A função
não possui valores máximo ou mínimo no conjunto
.