Determine, caso existam e usando curvas de nível, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
f(x, y) = x * y e A = R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os valores máximo e mínimo da função no conjunto usando curvas de nível. Isso envolve entender onde a função atinge seus maiores e menores valores possíveis no plano inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Para , as curvas de nível são dadas por , onde é uma constante. Essas são hiperbolas que se abrem nos quadrantes I e III se , e nos quadrantes II e IV se .

Passo 3

Agora, para encontrar os valores máximo e mínimo, precisamos ver se existem limites superiores ou inferiores para quando e variam em todos os números reais. Observando as curvas de nível, percebemos que podemos escolher valores de cada vez maiores ou menores (positivos e negativos) sem limite. Isso significa que pode crescer indefinidamente ou decrescer indefinidamente.

Passo 4

Como não há restrições no conjunto que limitem os valores de e , a função não atinge um valor máximo ou mínimo específico. Ou seja, não existem pontos onde a função atinja um valor máximo ou mínimo absoluto no plano inteiro.

Resposta

A função não possui valores máximo ou mínimo no conjunto .

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