Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função , considerando as restrições , e . Isso envolve entender um pouquinho de funções de duas variáveis e como representar graficamente essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função tem um valor constante. Ou seja, para diferentes valores de , a gente desenha onde a função atinge esses valores.

Passo 3

Nossa função é . Note que o valor de depende só de , o que significa que para qualquer , enquanto for o mesmo, terá o mesmo valor. Vamos escolher alguns valores para e resolver para .

Passo 4

Vamos escolher , , e como exemplos de curvas de nível.
  • Para :
    Mas como , temos .
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, vamos plotar essas curvas de nível no plano :
  • Para : A curva é a linha vertical .
  • Para : A curva é a linha vertical (eixo ).
  • Para : A curva é a linha vertical .
Como não depende de , todas as curvas de nível serão linhas verticais.

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico da função com as restrições dadas:
  1. Domínio: , , e . Isso define uma região triangular no primeiro quadrante, com vértices em , e .
  2. Altura da função: Para cada ponto nessa região, a altura do gráfico será . Isso significa que a função é constante ao longo de cada linha vertical e decresce conforme aumenta.
  3. Formato do gráfico: Será uma superfície plana na direção de , mas com altura decrescente em .

Resposta

As curvas de nível de são linhas verticais em , e . O gráfico da função, dentro das restrições , e , é uma superfície plana que decresce em altura à medida que aumenta, limitada pela região triangular definida pelas restrições.

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Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. .
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