Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função
, considerando as restrições
,
e
. Isso envolve entender um pouquinho de funções de duas variáveis e como representar graficamente essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
tem um valor constante. Ou seja, para diferentes valores de
, a gente desenha onde a função atinge esses valores.
Passo 3
Nossa função é
. Note que o valor de
depende só de
, o que significa que para qualquer
, enquanto
for o mesmo,
terá o mesmo valor. Vamos escolher alguns valores para
e resolver para
.
Passo 4
Vamos escolher
,
, e
como exemplos de curvas de nível.
-
Para
: Mas como, temos . -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, vamos plotar essas curvas de nível no plano
:
- Para
: A curva é a linha vertical . - Para
: A curva é a linha vertical (eixo ). - Para
: A curva é a linha vertical .
Como
não depende de
, todas as curvas de nível serão linhas verticais.
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
com as restrições dadas:
-
Domínio:
, , e . Isso define uma região triangular no primeiro quadrante, com vértices em , e . -
Altura da função: Para cada ponto nessa região, a altura do gráfico será
. Isso significa que a função é constante ao longo de cada linha vertical e decresce conforme aumenta. -
Formato do gráfico: Será uma superfície plana na direção de
, mas com altura decrescente em .
Resposta
As curvas de nível de
são linhas verticais em
,
e
. O gráfico da função, dentro das restrições
,
e
, é uma superfície plana que decresce em altura à medida que
aumenta, limitada pela região triangular definida pelas restrições.
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Represente graficamente o domínio da função
dada por
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
.
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