Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. .

Passo 1

Então, temos o enunciado que pede para desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função . Vamos resolver isso usando conhecimentos de matemática multivariada, especificamente sobre superfícies quadráticas e curvas de nível. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas nos ajudam a visualizar a forma da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. As curvas de nível de uma função de duas variáveis são as curvas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, fixamos um valor para e resolvemos a equação para obter a relação entre e .

Passo 3

Vamos começar determinando as curvas de nível para diferentes valores de . Tomemos , onde é uma constante positiva (porque sempre será não negativo). Assim, temos:
Essa é a equação de uma elipse no plano .

Passo 4

Vamos reescrever a equação da curva de nível para identificar seus parâmetros:
Comparando com a forma padrão da elipse , vemos que:
Portanto, os semi-eixos da elipse são:

Passo 5

Agora, vamos esboçar as curvas de nível para diferentes valores de . Escolhemos alguns valores de , como , por exemplo:
  • Para :
    Uma elipse com semi-eixos e .
  • Para :
    Uma elipse com semi-eixos e .
  • Para :
    Uma elipse com semi-eixos e .
  • Para :
    Uma elipse com semi-eixos e .

Passo 6

Com essas elipses desenhadas no plano , podemos observar que, conforme aumenta, as elipses ficam maiores, mantendo a mesma orientação. Isso nos dá uma noção de como a superfície se comporta no espaço tridimensional.

Passo 7

Para esboçar o gráfico da função , percebemos que essa é uma superfície parabólica que se abre para cima. O coeficiente de é maior que o de , indicando que a curvatura na direção de é mais acentuada do que na direção de .

Resposta

As curvas de nível de são elipses descritas pela equação para diferentes valores de . O gráfico da função é uma superfície parabólica que se abre para cima, com curvatura mais acentuada na direção de do que na direção de .

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Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Represente graficamente o domínio da função dada por
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. e .