Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
.
Passo 1
Então, temos o enunciado que pede para desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função
. Vamos resolver isso usando conhecimentos de matemática multivariada, especificamente sobre superfícies quadráticas e curvas de nível. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas nos ajudam a visualizar a forma da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. As curvas de nível de uma função de duas variáveis são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante. Ou seja, fixamos um valor para
e resolvemos a equação para obter a relação entre
e
.
Passo 3
Vamos começar determinando as curvas de nível para diferentes valores de
. Tomemos
, onde
é uma constante positiva (porque
sempre será não negativo). Assim, temos:
Essa é a equação de uma elipse no plano
.
Passo 4
Vamos reescrever a equação da curva de nível para identificar seus parâmetros:
Comparando com a forma padrão da elipse
, vemos que:
Portanto, os semi-eixos da elipse são:
Passo 5
Agora, vamos esboçar as curvas de nível para diferentes valores de
. Escolhemos alguns valores de
, como
, por exemplo:
-
Para
: Uma elipse com semi-eixose . -
Para
: Uma elipse com semi-eixose . -
Para
: Uma elipse com semi-eixose . -
Para
: Uma elipse com semi-eixose .
Passo 6
Com essas elipses desenhadas no plano
, podemos observar que, conforme
aumenta, as elipses ficam maiores, mantendo a mesma orientação. Isso nos dá uma noção de como a superfície
se comporta no espaço tridimensional.
Passo 7
Para esboçar o gráfico da função
, percebemos que essa é uma superfície parabólica que se abre para cima. O coeficiente de
é maior que o de
, indicando que a curvatura na direção de
é mais acentuada do que na direção de
.
Resposta
As curvas de nível de
são elipses descritas pela equação
para diferentes valores de
. O gráfico da função é uma superfície parabólica que se abre para cima, com curvatura mais acentuada na direção de
do que na direção de
.
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Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Represente graficamente o domínio da função
dada por
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
e
.