Determine os pontos críticos das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função . Isso envolve usar conceitos de cálculo de derivadas parciais para identificar onde as derivadas da função em relação a e são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são os pontos no gráfico da função onde as derivadas parciais em todas as direções são iguais a zero. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial da função em relação a . A derivada parcial em relação a (denotada como ) nos mostra como a função muda quando mudamos apenas , mantendo constante.
Para , temos:
Queremos que essa derivada seja igual a zero:
Como nunca é zero, a única solução é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Isso mostra como a função muda quando mudamos apenas , mantendo constante.
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Fatorando :
Novamente, como nunca é zero:
Dos passos anteriores, sabemos que . Substituindo:
Portanto, ou .

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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Sabe-se que o Césio-137 é um elemento radioativo e que a sua meia-vida é de 30 anos. Suponha que temos uma amostra com 200 mg de Césio-137.
Qual será a massa de Césio-137 na amostra após 90 anos?
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. e .
Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado indicado.
é a região circular .