Determine os pontos críticos das seguintes funções:
f(x, y) = e^(-y) * (x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função . Isso envolve usar conceitos de cálculo de derivadas parciais para identificar onde as derivadas da função em relação a e são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são os pontos no gráfico da função onde as derivadas parciais em todas as direções são iguais a zero. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial da função em relação a . A derivada parcial em relação a (denotada como ) nos mostra como a função muda quando mudamos apenas , mantendo constante.
Para , temos:
Queremos que essa derivada seja igual a zero:
Como nunca é zero, a única solução é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Isso mostra como a função muda quando mudamos apenas , mantendo constante.
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Fatorando :
Novamente, como nunca é zero:
Dos passos anteriores, sabemos que . Substituindo:
Portanto, ou .

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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