Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
. Isso envolve usar conceitos de cálculo de derivadas parciais para identificar onde as derivadas da função em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são os pontos no gráfico da função onde as derivadas parciais em todas as direções são iguais a zero. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial da função em relação a
. A derivada parcial em relação a
(denotada como
) nos mostra como a função muda quando mudamos apenas
, mantendo
constante.
Para
, temos:
Queremos que essa derivada seja igual a zero:
Como
nunca é zero, a única solução é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Isso mostra como a função muda quando mudamos apenas
, mantendo
constante.
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Fatorando
:
Novamente, como
nunca é zero:
Dos passos anteriores, sabemos que
. Substituindo:
Portanto,
ou
.
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
.