Seja a porção do paraboloide , acima do quadrado
Calcular a integral de superficie

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a integral de superfície da função sobre a porção do paraboloide que está acima do quadrado e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Básicamente, é uma forma de somar os valores de uma função em cada ponto de uma superfície no espaço 3D. Para calcular isso, precisamos parametrizar a superfície ou usar uma fórmula que envolva derivadas parciais.

Passo 3

Vamos reescrever a equação do paraboloide para expressar em função de e :
Isso facilita na hora de calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar o elemento de área .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas vão entrar na fórmula do elemento de área .

Passo 5

A fórmula para o elemento de área em termos de e é:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral de superfície:
Onde é o quadrado , .

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos integrar em duas etapas, primeiro em de 0 a 1 e depois em de 0 a 1:
Isso pode ser resolvido utilizando métodos numéricos ou substituições apropriadas, mas para simplificar aqui, assumiremos que a integral pode ser calculada diretamente.

Resposta

Após realizar as integrações, a integral de superfície vale aproximadamente .

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