Encontre a integral de linha de
sobre a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral de linha da função
sobre a curva definida por
, onde
varia de 1 até o infinito. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela nos permite somar os valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. A fórmula geral para a integral de linha é:
Onde
é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva
.
Passo 3
Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva. Já temos a parametrização dada por
. Isso significa que as coordenadas são
,
e
.
Passo 4
A próxima etapa é encontrar a derivada da posição em relação a
, que é
. Calculando:
Passo 5
Agora, calculamos o módulo de
, que nos dá o elemento
:
Então,
.
Passo 6
Substituímos
,
e
na função
:
Passo 7
Agora, montamos a integral de linha usando os valores encontrados:
Passo 8
Vamos calcular essa integral:
Aplicando os limites de integração de 1 até o infinito:
Resposta
A integral de linha é igual a 1.