Encontre a integral de linha de f(x, y, z) = raiz(3) / (x^2 + y^2 + z^2) sobre a curva vec(r)(t) = t i + t j + t k, 1 <= t <= infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral de linha da função sobre a curva definida por , onde varia de 1 até o infinito. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela nos permite somar os valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. A fórmula geral para a integral de linha é:
Onde é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva .

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva. Já temos a parametrização dada por . Isso significa que as coordenadas são , e .

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a derivada da posição em relação a , que é . Calculando:

Passo 5

Agora, calculamos o módulo de , que nos dá o elemento :
Então, .

Passo 6

Substituímos , e na função :

Passo 7

Agora, montamos a integral de linha usando os valores encontrados:

Passo 8

Vamos calcular essa integral:
Aplicando os limites de integração de 1 até o infinito:

Resposta

A integral de linha é igual a 1.

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