Desenhe diversos exemplos da família de curvas integrais.
Passo 1
Beleza! Então, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O objetivo aqui é desenhar diferentes exemplos da família de curvas integrais dessa equação. Basicamente, isso significa que vamos encontrar a solução geral da equação e ver como diferentes constantes nessa solução geram diferentes curvas quando representadas no gráfico.
Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão para identificar os coeficientes que vamos usar no método do fator integrante. A forma padrão é:
Comparando com a nossa equação:
vemos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, geralmente denotado por , é dado por:
Substituindo o valor de :
Como estamos lidando com funções contínuas no contexto dos gráficos, podemos simplificar e escrever:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A beleza desse passo é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto . Ou seja:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar :
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 7
Para desenhar diversos exemplos dessa família de curvas, basta escolher diferentes valores para e traçar as correspondentes parábolas. Por exemplo:
Para : (uma parábola simples)
Para : (parábola deslocada)
Para : (parábola em outra direção)
Cada valor de altera a posição ou a inclinação da parábola, mas todas mantêm a característica de serem curvas quadráticas.
Resumo Final
Resolvendo a equação diferencial pelo método do fator integrante, encontramos que a solução geral é:
Essa solução representa uma família de parábolas que variam de acordo com o valor da constante .
Resposta
A família de curvas integrais da equação é dada por:
onde é uma constante real que pode assumir diferentes valores, gerando assim diferentes curvas no gráfico.