y'' + 4y = { t, 0 <= t < 1; 1, 1 <= t < infinito; y(0) = 0; y'(0) = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e .
O conteúdo aqui envolve resolver equações diferenciais com condições iniciais e funções forçadoras definidas por partes. Vamos precisar aplicar o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e considerar as diferentes partes da função forçadora.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação homogênea é:
onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como a função forçadora é diferente em dois intervalos de , vamos considerar cada caso separadamente.
Para :
A equação fica:
Vamos supor uma solução particular da forma:
Derivando, temos:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:
Para :
A equação fica:
Vamos supor uma solução particular constante:
Derivando:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular para é:

Passo 4

Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para cada intervalo.
Para :
Para :

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e .
Primeiro, para :
Agora, derivamos para :
Aplicando :
Então, a solução para fica:

Passo 6

Para garantir que a solução seja contínua em , devemos igualar as soluções de ambos os intervalos em .
Calculamos usando a solução para :
Essa será igual à solução para :
Igualando as duas expressões:

Passo 7

Para simplificar, podemos resolver as constantes e . Assumindo que a derivada também seja contínua, repetimos o processo para derivadas.
Derivando para :
Igualamos as derivadas em :
Derivada da solução :
Derivada da solução :
Igualando:
Agora temos um sistema de duas equações:
  1. ,
  2. .
Resolvendo esse sistema, encontramos e .

Resposta

Após resolver o sistema, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições de continuidade em .

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