Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
.
O conteúdo aqui envolve resolver equações diferenciais com condições iniciais e funções forçadoras definidas por partes. Vamos precisar aplicar o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e considerar as diferentes partes da função forçadora.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como a função forçadora é diferente em dois intervalos de
, vamos considerar cada caso separadamente.
Para
:
A equação fica:
Vamos supor uma solução particular da forma:
Derivando, temos:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para
é:
Para
:
A equação fica:
Vamos supor uma solução particular constante:
Derivando:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular para
é:
Passo 4
Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para cada intervalo.
Para
:
Para
:
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Primeiro, para
:
Agora, derivamos
para
:
Aplicando
:
Então, a solução para
fica:
Passo 6
Para garantir que a solução seja contínua em
, devemos igualar as soluções de ambos os intervalos em
.
Calculamos
usando a solução para
:
Essa será igual à solução para
:
Igualando as duas expressões:
Passo 7
Para simplificar, podemos resolver as constantes
e
. Assumindo que a derivada também seja contínua, repetimos o processo para derivadas.
Derivando
para
:
Igualamos as derivadas em
:
Derivada da solução
:
Derivada da solução
:
Igualando:
Agora temos um sistema de duas equações:
-
, -
.
Resolvendo esse sistema, encontramos
e
.
Resposta
Após resolver o sistema, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições de continuidade em
.