a) Mostre que é solução de e que também é solução desta equação para qualquer valor da constante .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função é solução da equação diferencial e que qualquer múltiplo dessa função também é solução. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e substituir na equação para verificar se a igualdade se mantém. Além disso, vamos entender como constantes multiplicam soluções de equações diferenciais homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Passo 3
Agora, substituímos e na equação diferencial :
Passo 4
Para que seja solução da equação, a expressão resultante deve ser igual a zero:
No entanto, observamos que essa igualdade não é verdadeira para valores gerais de . A menos que assuma um valor específico que satisfaça a equação (o que não é o caso para uma solução geral), não é uma solução da equação diferencial .
Passo 5
Vamos verificar se existe algum erro no enunciado ou considerar uma possível correção. A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde é uma constante arbitrária. Claramente, não se encaixa nessa forma, indicando que pode haver um equívoco no enunciado original.
Resposta
A função não é solução da equação diferencial . Portanto, o enunciado apresentado contém um erro.