a) Mostre que
é solução de
e que
também é solução desta equação para qualquer valor da constante
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função
é solução da equação diferencial
e que qualquer múltiplo dessa função também é solução. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de
e substituir na equação para verificar se a igualdade se mantém. Além disso, vamos entender como constantes multiplicam soluções de equações diferenciais homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação diferencial
:
Passo 4
Para que
seja solução da equação, a expressão resultante deve ser igual a zero:
No entanto, observamos que essa igualdade não é verdadeira para valores gerais de
. A menos que
assuma um valor específico que satisfaça a equação (o que não é o caso para uma solução geral),
não é uma solução da equação diferencial
.
Passo 5
Vamos verificar se existe algum erro no enunciado ou considerar uma possível correção. A solução geral da equação diferencial
é dada por:
onde
é uma constante arbitrária. Claramente,
não se encaixa nessa forma, indicando que pode haver um equívoco no enunciado original.
Resposta
A função
não é solução da equação diferencial
. Portanto, o enunciado apresentado contém um erro.