a) Mostre que phi(x) = 1/x é solução de y' - 2y = 0 e que y = c phi(x) também é solução desta equação para qualquer valor da constante c.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função é solução da equação diferencial e que qualquer múltiplo dessa função também é solução. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e substituir na equação para verificar se a igualdade se mantém. Além disso, vamos entender como constantes multiplicam soluções de equações diferenciais homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora, substituímos e na equação diferencial :

Passo 4

Para que seja solução da equação, a expressão resultante deve ser igual a zero:
No entanto, observamos que essa igualdade não é verdadeira para valores gerais de . A menos que assuma um valor específico que satisfaça a equação (o que não é o caso para uma solução geral), não é uma solução da equação diferencial .

Passo 5

Vamos verificar se existe algum erro no enunciado ou considerar uma possível correção. A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde é uma constante arbitrária. Claramente, não se encaixa nessa forma, indicando que pode haver um equívoco no enunciado original.

Resposta

A função não é solução da equação diferencial . Portanto, o enunciado apresentado contém um erro.

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