Desenhe diversos exemplos da família de curvas integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem:
. Nosso objetivo é desenhar alguns exemplos das curvas que resolvem essa equação, ou seja, encontrar a família de soluções dessa equação diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa equação diferencial
, onde
e
. O método do fator integrante nos ajuda a encontrar uma solução geral para essa equação.
Passo 3
O próximo passo é calcular o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Como estamos trabalhando com
, podemos simplificar para
.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial, e cada valor de
nos dá uma curva diferente da família de soluções.
Resposta
A família de soluções da equação diferencial
é dada por:
Onde
é uma constante real que pode ser escolhida para gerar diferentes curvas integrais.
Exercícios relacionados
Veifique que
é um campo conservativo em
. Em caso afirmativo, calcular
onde a notação
significa a integral de linha ao longo de qualquer caminho de
a
.
Encontre a solução contínua do problema de valor inicial
Discuta a existência e unicidade de
. A solução existe para todo
Determine o vetor gradiente da função
no ponto
.