Desenhe diversos exemplos da família de curvas integrais. y' + 2/x * y = 1/x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem: . Nosso objetivo é desenhar alguns exemplos das curvas que resolvem essa equação, ou seja, encontrar a família de soluções dessa equação diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa equação diferencial , onde e . O método do fator integrante nos ajuda a encontrar uma solução geral para essa equação.

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Como estamos trabalhando com , podemos simplificar para .

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando cada termo:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Essa é a solução geral da equação diferencial, e cada valor de nos dá uma curva diferente da família de soluções.

Resposta

A família de soluções da equação diferencial é dada por:
Onde é uma constante real que pode ser escolhida para gerar diferentes curvas integrais.

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