Encontre a solução contínua do problema de valor inicial
y' + y = g(t), y(0) = 0, onde g(t) = { 2, 0 <= t <= 1; 0, t > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem do tipo , com a condição inicial . A função g(t) é uma função definida por partes:
O que vamos precisar aqui é usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial. Vamos dividir a resolução em dois intervalos: de 0 a 1, onde , e para , onde . Além disso, vamos garantir que a solução seja contínua no ponto t = 1.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para o intervalo 0 <= t <= 1, onde . A equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante. A fórmula do fator integrante é:
Onde P(t) é o coeficiente de y na equação, que aqui é 1. Então:

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto , ou seja:
Para encontrar y(t), vamos integrar ambos os lados em relação a t:
Assim, temos:
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, resolvemos para y(t) dividindo ambos os lados por e^t:
Aplicamos a condição inicial para encontrar C:
Portanto, a solução no intervalo 0 <= t <= 1 é:

Passo 5

Agora, vamos resolver para , onde . A equação fica:
Essa é uma equação homogênea linear. A solução geral é:
Onde K é uma constante que vamos determinar garantindo a continuidade da solução em t = 1.

Passo 6

Para garantir que a solução seja contínua em t = 1, o valor de y em t = 1 para o primeiro intervalo deve ser igual ao valor de y no segundo intervalo em t = 1.
Primeiro, calculamos y(1) usando a solução para 0 <= t <= 1:
Agora, igualamos isso à solução para em t = 1:
Resolvendo para K:

Resposta

A solução contínua do problema de valor inicial é:

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