Encontre a solução contínua do problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem do tipo
, com a condição inicial
. A função
é uma função definida por partes:
O que vamos precisar aqui é usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial. Vamos dividir a resolução em dois intervalos: de
a
, onde
, e para
, onde
. Além disso, vamos garantir que a solução seja contínua no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para o intervalo
, onde
. A equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante. A fórmula do fator integrante é:
Onde
é o coeficiente de
na equação, que aqui é
. Então:
Passo 3
Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
, ou seja:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Assim, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Portanto, a solução no intervalo
é:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
, onde
. A equação fica:
Essa é uma equação homogênea linear. A solução geral é:
Onde
é uma constante que vamos determinar garantindo a continuidade da solução em
.
Passo 6
Para garantir que a solução seja contínua em
, o valor de
em
para o primeiro intervalo deve ser igual ao valor de
no segundo intervalo em
.
Primeiro, calculamos
usando a solução para
:
Agora, igualamos isso à solução para
em
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução contínua do problema de valor inicial é:
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Considere o modelo populacional
c) Interprete biologicamente os parâmetros
e
.
Veifique que
é um campo conservativo em
. Em caso afirmativo, calcular
onde a notação
significa a integral de linha ao longo de qualquer caminho de
a
.
Desenhe diversos exemplos da família de curvas integrais.