Determine o vetor gradiente da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o vetor gradiente da função
no ponto
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Diferencial, mais especificamente o conceito de gradiente. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior variação da função e é composto pelas derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis. Matematicamente, é representado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função
.
-
Derivada parcial em relação a
: Quando derivamos em relação a, tratamos as outras variáveis como constantes. -
Derivada parcial em rela�o a
: Aqui,e são constantes. -
Derivada parcial em relação a
: e são constantes nessa derivada.
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto
.
-
Avaliar
em : -
Avaliar
em : -
Avaliar
em :
Passo 5
Agora, juntando todas as derivadas parciais avaliadas, temos o vetor gradiente no ponto
:
Resposta
O vetor gradiente da função
no ponto
é
.
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Discuta a existência e unicidade de
. A solução existe para todo
Desenhe diversos exemplos da família de curvas integrais.
No problema de valor inicial
, determine como o valor limite de y, quando
, depende de
.
Sendo a função
seny), determinar o gradiente no ponto
.