Determine o vetor gradiente da função phi = x * y^2 * z^3 no ponto (2, -1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o vetor gradiente da função no ponto . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Diferencial, mais especificamente o conceito de gradiente. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior variação da função e é composto pelas derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis. Matematicamente, é representado por:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função .
  1. Derivada parcial em relação a :
    Quando derivamos em relação a , tratamos as outras variáveis como constantes.
  2. Derivada parcial em rela�o a :
    Aqui, e são constantes.
  3. Derivada parcial em relação a :
    e são constantes nessa derivada.

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto .
  1. Avaliar em :
  2. Avaliar em :
  3. Avaliar em :

Passo 5

Agora, juntando todas as derivadas parciais avaliadas, temos o vetor gradiente no ponto :

Resposta

O vetor gradiente da função no ponto é .

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