Veifique que F(x, y)=(e^x+y+1, e^x+y) é um campo conservativo em R^2. Em caso afirmativo, calcular
integral(1,0)^((1,1) F cdot d r
onde a notação integral(1,0)^(1,1) significa a integral de linha ao longo de qualquer caminho de (1,0) a (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial é conservativo em . Se for, precisamos calcular a integral de linha de até . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial partial fpartial x = P e partial fpartial y = Q é conservativo se existe uma função potencial partial Ppartial y = partial Qpartial x tal que . Isso significa que:
Uma condição prática para verificar se é conservativo é checar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja, se:
Vamos aplicar isso ao nosso campo .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
P = e^x+y + 1 Rightarrow partial Ppartial y = e^x+y
Q = e^x+y Rightarrow partial Qpartial x = e^x+y
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que f(x, y) = integral (e^x+y + 1) , dx = e^x+y + x + h(y) é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que .
Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 5

Para determinar partial fpartial y = e^x+y + h'(y) = e^x+y , derivamos f(x, y) = e^x+y + x em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:

Passo 6

Finalmente, para calcular a integral de linha de integral(1,0)^(1,1) F cdot dr = f(1,1) - f(1,0) até f(1,1) = e^1+1 + 1 = e^2 + 1 , usamos a função potencial:
f(1,0) = e^1+0 + 1 = e^1 + 1
Calculando os valores:
f(1,1) - f(1,0) = (e^2 + 1) - (e + 1) = e^2 - e
Então,

Resposta

A integral de linha é igual a .

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