Veifique que
é um campo conservativo em
. Em caso afirmativo, calcular
onde a notação
significa a integral de linha ao longo de qualquer caminho de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo em
. Se for, precisamos calcular a integral de linha de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que:
Uma condição prática para verificar se
é conservativo é checar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja, se:
Vamos aplicar isso ao nosso campo
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
.
Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos considerar
sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:
Passo 6
Finalmente, para calcular a integral de linha de
até
, usamos a função potencial:
Calculando os valores:
Então,
Resposta
A integral de linha é igual a
.
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