Discuta a existência e unicidade de
. A solução existe para todo
Passo 1
Então, bora lá! Temos a equação diferencial
com a condição inicial
. Nosso objetivo é discutir se existe uma solução única para essa equação e se essa solução existe para todo o intervalo de
. Para isso, vamos usar conceitos de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais ordinárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa existência e unicidade. Existência refere-se ao fato de que pelo menos uma solução satisfaz a equação diferencial com a condição inicial dada. Unicidade quer dizer que essa solução é única, ou seja, não há duas soluções diferentes que atendam às mesmas condições.
Passo 3
Para determinar existência e unicidade, usamos o Teorema de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos diz que se a função
e sua derivada parcial em relação a
, ou seja,
, forem contínuas em uma região próxima ao ponto inicial, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
Passo 4
No nosso caso, a função
é uma função polinomial, que é contínua em todo e
. Além disso, sua derivada parcial em relação a
é
, que também é contínua para todo
. Portanto, segundo o Teorema de Picard-Lindelöf, existe uma solução única para a equação diferencial dada a condição inicial
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação diferencial para encontrar a solução explícita. Temos:
Isso é uma equação diferencial de separação de variáveis. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é a arctan:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução geral é:
Passo 8
Resolvendo para
, obtemos:
Passo 9
Agora, analisamos se essa solução existe para todo
. A função tangente tem assíntotas verticais onde seu argumento é
, para qualquer inteiro
. Isso significa que a solução
se torna infinita em pontos específicos, o que limita o intervalo de existência.
Resposta
Existe uma solução única para a equação diferencial
com a condição inicial
. No entanto, essa solução não existe para todo
, pois a função tangente apresenta assíntotas verticais, restringindo o intervalo de existência da solução.
Exercícios relacionados
Desenhe diversos exemplos da família de curvas integrais.
Veifique que
é um campo conservativo em
. Em caso afirmativo, calcular
onde a notação
significa a integral de linha ao longo de qualquer caminho de
a
.
Determine o vetor gradiente da função
no ponto
.
No problema de valor inicial
, determine como o valor limite de y, quando
, depende de
.