Discuta a existência e unicidade de y' = 1 + y^2, y(0) = y0. A solução existe para todo t ?

Passo 1

Então, bora lá! Temos a equação diferencial com a condição inicial . Nosso objetivo é discutir se existe uma solução única para essa equação e se essa solução existe para todo o intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais ordinárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa existência e unicidade. Existência refere-se ao fato de que pelo menos uma solução satisfaz a equação diferencial com a condição inicial dada. Unicidade quer dizer que essa solução é única, ou seja, não há duas soluções diferentes que atendam às mesmas condições.

Passo 3

Para determinar existência e unicidade, usamos o Teorema de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos diz que se a função e sua derivada parcial em relação a , ou seja, , forem contínuas em uma região próxima ao ponto inicial, então existe uma única solução que passa por esse ponto.

Passo 4

No nosso caso, a função é uma função polinomial, que é contínua em todo e . Além disso, sua derivada parcial em relação a é , que também é contínua para todo . Portanto, segundo o Teorema de Picard-Lindelöf, existe uma solução única para a equação diferencial dada a condição inicial .

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação diferencial para encontrar a solução explícita. Temos:
Isso é uma equação diferencial de separação de variáveis. Vamos separar as variáveis e :

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é a arctan:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução geral é:

Passo 8

Resolvendo para , obtemos:

Passo 9

Agora, analisamos se essa solução existe para todo . A função tangente tem assíntotas verticais onde seu argumento é , para qualquer inteiro . Isso significa que a solução se torna infinita em pontos específicos, o que limita o intervalo de existência.

Resposta

Existe uma solução única para a equação diferencial com a condição inicial . No entanto, essa solução não existe para todo , pois a função tangente apresenta assíntotas verticais, restringindo o intervalo de existência da solução.

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